MoziHelper
База · 1-й семестр
То что нужно помнить с прошлого семестра
Эти понятия используются почти в каждом из 92 вопросов, но сами их определения остались в курсе 1-го семестра. Здесь они собраны и кратко напомнены.
Тема I · Глава IX
Общие теоретико-групповые конструкции
01
Полугруппа и моноид (определения, примеры)
Определение
Бинарная алгебраическая операция на множестве $X$ — отображение $\tau\colon X\times X\to X$. Операция $*$ определяет на $X$ алгебраическую структуру $(X, *)$.
Операция $*$ называется ассоциативной, если $\forall a,b,c\in X$
$$(a*b)*c \;=\; a*(b*c);$$
коммутативной, если $\forall a,b\in X$
$$a*b \;=\; b*a.$$
Элемент $e\in X$ называется единичным (нейтральным), если $\forall x\in X$
$$e*x \;=\; x*e \;=\; x.$$
Полугруппа — множество с заданной на нём бинарной ассоциативной операцией.
Моноид — полугруппа, в которой есть единичный элемент. Моноид также называют полугруппой с единицей.
Моноид — это просто множество с «умножением», у которого есть единица. Полугруппа — то же самое, но без единицы. Никаких обратных элементов пока не требуется.
Примеры из лекции
1а. Пусть $\Omega$ — произвольное множество, $M(\Omega)$ — множество всех его преобразований в себя. Тогда $(M(\Omega), \circ, e_\Omega)$ — моноид, где $\circ$ — композиция отображений, $e_\Omega$ — тождественное отображение.
2. Пусть $P(\Omega)$ — множество всех подмножеств $\Omega$. Тогда $(P(\Omega), \cup, \varnothing)$ и $(P(\Omega), \cap, \Omega)$ — коммутативные моноиды.
3. $(M_n(\mathbb{R}), +, O)$ — коммутативный моноид с нейтральным элементом $O$ — нулевой матрицей. $(M_n(\mathbb{R}), \cdot, E)$ — некоммутативный моноид с единичной матрицей $E$.
4. $n\mathbb{Z} = \{nm \mid m\in\mathbb{Z}\}$. Тогда $(n\mathbb{Z}, +, 0)$ — коммутативный моноид, $(n\mathbb{Z}, \cdot)$ — коммутативная полугруппа (без единицы, ведь $1\notin n\mathbb{Z}$ при $n\gt 1$).
2. Пусть $P(\Omega)$ — множество всех подмножеств $\Omega$. Тогда $(P(\Omega), \cup, \varnothing)$ и $(P(\Omega), \cap, \Omega)$ — коммутативные моноиды.
3. $(M_n(\mathbb{R}), +, O)$ — коммутативный моноид с нейтральным элементом $O$ — нулевой матрицей. $(M_n(\mathbb{R}), \cdot, E)$ — некоммутативный моноид с единичной матрицей $E$.
4. $n\mathbb{Z} = \{nm \mid m\in\mathbb{Z}\}$. Тогда $(n\mathbb{Z}, +, 0)$ — коммутативный моноид, $(n\mathbb{Z}, \cdot)$ — коммутативная полугруппа (без единицы, ведь $1\notin n\mathbb{Z}$ при $n\gt 1$).
Самые простые примеры от меня
Моноид: $(\mathbb{N}_0, +, 0)$ — натуральные числа с нулём по сложению. Ассоциативность сложения известна со школы, $0$ — нейтральный: $0+n=n+0=n$.
Полугруппа, не являющаяся моноидом: $(\mathbb{N}, +)$ — натуральные без нуля. Сложение ассоциативно, но нет нейтрального элемента: единственный кандидат $0$ не лежит в $\mathbb{N}$.
Моноид с буквами: множество всех конечных слов из букв $\{a, b\}$ с операцией «приписать справа», нейтральный элемент — пустое слово $\varepsilon$. Например, $ab*ba = abba$.
Полугруппа, не являющаяся моноидом: $(\mathbb{N}, +)$ — натуральные без нуля. Сложение ассоциативно, но нет нейтрального элемента: единственный кандидат $0$ не лежит в $\mathbb{N}$.
Моноид с буквами: множество всех конечных слов из букв $\{a, b\}$ с операцией «приписать справа», нейтральный элемент — пустое слово $\varepsilon$. Например, $ab*ba = abba$.
02
Вычисление степеней элементов в коммутативном моноиде
Теорема (обобщённая ассоциативность)
Если бинарная операция $*$ на множестве $X$ ассоциативна, то результат её последовательного применения к $n$ элементам множества $X$ не зависит от расстановки скобок.
Степень
В моноиде $(M, \cdot, e)$ для $x\in M$ и $n\in\mathbb{N}$:
$$x^n \;=\; \underbrace{x\cdot x\cdot \ldots \cdot x}_{n\text{ раз}}, \qquad x^0 := e.$$
Утверждение
В коммутативном моноиде $X$ для любых $x,y\in X$ и $n\in\mathbb{N}$
$$(xy)^n \;=\; x^n y^n.$$
В коммутативном моноиде множители можно свободно переставлять, поэтому $(xy)(xy)\ldots(xy)$ можно «перетасовать» в $xx\ldots x \cdot yy\ldots y = x^n y^n$. В некоммутативном случае это неверно: для матриц $(AB)^2 = ABAB \ne A^2B^2$ в общем случае.
Самый простой пример от меня
В $(\mathbb{R}, \cdot, 1)$: $(2\cdot 3)^4 = 6^4 = 1296$ и одновременно $2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296$. Совпадают.
А вот в $M_2(\mathbb{R})$ (некоммутативный моноид) с матрицами $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$: $AB = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $(AB)^2 = AB$, но $A^2 B^2 = 0 \cdot 0 = 0$. Не совпадают.
А вот в $M_2(\mathbb{R})$ (некоммутативный моноид) с матрицами $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$: $AB = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $(AB)^2 = AB$, но $A^2 B^2 = 0 \cdot 0 = 0$. Не совпадают.
03
Обратимый элемент моноида (определение, примеры)
Определение
Пусть $(M, \cdot, e)$ — моноид. Элемент $a\in M$ называется обратимым, если
$$\exists\, b\in M:\quad a\cdot b \;=\; b\cdot a \;=\; e.$$
Обратный элемент определён однозначно и обозначается $a^{-1}$.
Утверждение
Множество всех обратимых элементов моноида $(M, \cdot, e)$ замкнуто относительно операции $\cdot$ и образует подмоноид в $M$, то есть само является моноидом.
Единственность обратного: если $b$ и $c$ — оба обратные к $a$, то $b = b\cdot e = b\cdot(a\cdot c) = (b\cdot a)\cdot c = e\cdot c = c$. Замкнутость по умножению: если $a, b$ обратимы, то $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$.
Примеры из лекции
В моноиде $(M_n(\mathbb{R}), \cdot, E)$ обратимые элементы — это в точности матрицы с ненулевым определителем. Множество всех таких матриц образует подмоноид (и даже группу) $GL_n(\mathbb{R})$.
Самые простые примеры от меня
В $(\mathbb{Z}, \cdot, 1)$: обратимы только $\pm 1$ (потому что $a\cdot b = 1$ и $a,b\in\mathbb{Z}$ возможно только при $a=b=1$ или $a=b=-1$).
В $(\mathbb{Q}, \cdot, 1)$: обратимы все ненулевые числа: $(3/5)^{-1} = 5/3$.
В $(M_2(\mathbb{R}), \cdot, E)$: матрица $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ обратима ($\det=-2\ne 0$), а $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ нет ($\det=0$).
В $(\mathbb{Q}, \cdot, 1)$: обратимы все ненулевые числа: $(3/5)^{-1} = 5/3$.
В $(M_2(\mathbb{R}), \cdot, E)$: матрица $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ обратима ($\det=-2\ne 0$), а $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ нет ($\det=0$).
04
Группа (определение, примеры)
Определение
Группа — множество $G$ с определённой на нём бинарной операцией $*$ такой, что
- $*$ ассоциативна: $\forall x,y,z\in G\;\; (x*y)*z = x*(y*z);$
- $\exists\,e\in G:\;\; e*x = x*e = x \;\;\forall x\in G;$
- $\forall x\in G\;\; \exists\, x^{-1}:\;\; x*x^{-1} = x^{-1}*x = e.$
Группа — это моноид + обратимость всех элементов. Это фундаментальная структура: симметрии любого объекта образуют группу.
Простые примеры
Аддитивные группы: $(\mathbb{Z}, +, 0)$, $(\mathbb{Q}, +, 0)$, $(\mathbb{R}, +, 0)$. Обратный к $a$ — это $-a$.
Мультипликативная группа: $(\mathbb{R}\setminus\{0\}, \cdot, 1)$. Обратный к $a$ — это $1/a$.
Не группа: $(\mathbb{Z}, \cdot, 1)$ — у двойки нет обратного в $\mathbb{Z}$. Это моноид, но не группа.
Мультипликативная группа: $(\mathbb{R}\setminus\{0\}, \cdot, 1)$. Обратный к $a$ — это $1/a$.
Не группа: $(\mathbb{Z}, \cdot, 1)$ — у двойки нет обратного в $\mathbb{Z}$. Это моноид, но не группа.
05
Примеры специальных групп: $GL_n$, $SL_n$, $S_n$, $\mathbb{R}^*$, $\mathbb{Q}^*$
Определения из лекции
$$GL_n(\mathbb{R}) \;=\; \{A\in M_n(\mathbb{R}) \mid \det A \ne 0\}.$$
$GL_n(\mathbb{R})$ с бинарной операцией умножения матриц является группой. Эта группа называется полной линейной группой степени $n$ над $\mathbb{R}$.
$$SL_n(\mathbb{R}) \;=\; \{A\in GL_n(\mathbb{R}) \mid \det A = 1\}$$
— специальная линейная группа степени $n$ над $\mathbb{R}$.
Перестановки на множестве из $n$ элементов образуют группу. Эта группа обозначается $S_n$ и называется симметрической группой перестановок степени $n$. Порядок: $|S_n| = n!$.
$$\mathbb{R}^* \;=\; \mathbb{R}\setminus\{0\} \;=\; GL_1(\mathbb{R}), \qquad \mathbb{Q}^* \;=\; \mathbb{Q}\setminus\{0\} \;=\; GL_1(\mathbb{Q})$$
— мультипликативные группы вещественных и рациональных чисел.
Простой пример: $S_3$
Группа перестановок $\{1,2,3\}$ содержит $3! = 6$ элементов: тождественную $e$, три транспозиции $(12), (13), (23)$ и два цикла $(123), (132)$.
Это самая маленькая некоммутативная группа: $(12)\circ(13) = (132)$, а $(13)\circ(12) = (123)$.
Это самая маленькая некоммутативная группа: $(12)\circ(13) = (132)$, а $(13)\circ(12) = (123)$.
06
Абелева группа. Собственная подгруппа
Определения из лекции
Абелева группа — группа, операция на которой коммутативна.
Если $H\subset G$ и $H$ является группой (относительно той же операции), то $H$ — подгруппа $G$. Подгруппа группы $G$, не являющаяся пустой и не совпадающая с самой группой $G$, называется собственной.
Примеры
Абелевы: $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{R},+)$, $(\mathbb{R}^*, \cdot)$ — все абелевы.
Не абелевы: $GL_n(\mathbb{R})$ при $n\ge 2$, $S_n$ при $n\ge 3$.
Собственная подгруппа: в $(\mathbb{Z},+)$ подгруппа $2\mathbb{Z} = \{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}$ — чётные числа. Она не равна $\{0\}$ и не равна всему $\mathbb{Z}$, значит собственная.
Не абелевы: $GL_n(\mathbb{R})$ при $n\ge 2$, $S_n$ при $n\ge 3$.
Собственная подгруппа: в $(\mathbb{Z},+)$ подгруппа $2\mathbb{Z} = \{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}$ — чётные числа. Она не равна $\{0\}$ и не равна всему $\mathbb{Z}$, значит собственная.
07
Кольцо. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа. Кольцо с единицей, коммутативное кольцо
Определение
Пусть $K$ — произвольное непустое множество, на котором заданы две бинарные алгебраические операции — сложение $+$ и умножение $\cdot$ такие, что
- $(K, +, 0)$ — абелева группа ($K$ — абелева группа по сложению);
- $(K, \cdot)$ — полугруппа ($K$ — полугруппа по умножению);
- $\forall a,b,c\in K:\;\; (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$ и $c\cdot (a+b) = c\cdot a + c\cdot b$.
$(K, +, 0)$ — аддитивная группа кольца. $(K, \cdot)$ — мультипликативная полугруппа кольца. Если $(K, \cdot)$ — моноид, то $(K, +, \cdot)$ — кольцо с единицей.
Если $\forall x,y\in K\; x\cdot y = y\cdot x$, то $K$ — коммутативное кольцо.
Примеры из лекции
1. $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$, $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$, $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ — коммутативные кольца с $1$.
2. $M_n(\mathbb{R})$ — кольцо квадратных матриц порядка $n$. Является некоммутативным кольцом с единицей.
4. Классы вычетов по модулю $m$ с операциями сложения и умножения образуют кольцо с $1$.
5. Чётные целые числа $2\mathbb{Z}$ — кольцо без $1$.
6. $\mathbb{R}[t]$ — кольцо многочленов от переменной $t$ с коэффициентами из $\mathbb{R}$.
2. $M_n(\mathbb{R})$ — кольцо квадратных матриц порядка $n$. Является некоммутативным кольцом с единицей.
4. Классы вычетов по модулю $m$ с операциями сложения и умножения образуют кольцо с $1$.
5. Чётные целые числа $2\mathbb{Z}$ — кольцо без $1$.
6. $\mathbb{R}[t]$ — кольцо многочленов от переменной $t$ с коэффициентами из $\mathbb{R}$.
08
Тело и поле (определения, примеры)
Определения из лекции
Тело (кольцо с делением) — такое кольцо $K$, что $K\setminus\{0\}$ — группа по умножению.
Поле — коммутативное кольцо с делением. Иначе говоря, поле — коммутативное кольцо с $1$, в котором каждый ненулевой элемент обратим.
Различие между телом и полем — только в коммутативности умножения. В поле можно делить на любой ненулевой элемент. Классический пример некоммутативного тела — кватернионы.
Примеры из лекции
1. $\mathbb{Q}, \mathbb{R}$ — поля.
2. $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}$ — расширение поля $\mathbb{Q}$.
3. Алгебраические числа — корни всех многочленов с коэффициентами из $\mathbb{Q}$ — поле алгебраических чисел.
4. $\mathbb{C} = \mathbb{R}(i)$ — простое алгебраическое расширение поля $\mathbb{R}$ (поле комплексных чисел).
2. $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}$ — расширение поля $\mathbb{Q}$.
3. Алгебраические числа — корни всех многочленов с коэффициентами из $\mathbb{Q}$ — поле алгебраических чисел.
4. $\mathbb{C} = \mathbb{R}(i)$ — простое алгебраическое расширение поля $\mathbb{R}$ (поле комплексных чисел).
Простой пример конечного поля
$\mathbb{Z}_5 = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ с операциями по модулю 5 — поле из 5 элементов. Обратный к 2: $2^{-1} = 3$, так как $2\cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$.
А вот $\mathbb{Z}_6$ — НЕ поле: $2\cdot 3 = 6 \equiv 0$, значит у $2$ и $3$ нет обратных (они «делители нуля»). Поле получается только при простом модуле.
А вот $\mathbb{Z}_6$ — НЕ поле: $2\cdot 3 = 6 \equiv 0$, значит у $2$ и $3$ нет обратных (они «делители нуля»). Поле получается только при простом модуле.
09
Алгебра как теоретико-групповая конструкция (определение, примеры)
Определение
Кольцо $A$ — алгебра над полем $P$, если его аддитивная группа есть векторное пространство $V$ над полем $P$ и умножение в $A$ связано с умножением на элементы из $P$ формулой
$$\alpha(ab) \;=\; (\alpha a)b \;=\; a(\alpha b) \quad (\forall a, b \in A,\; \forall \alpha \in P).$$
$n = \dim V$ — ранг алгебры.
Примеры из лекции
1. $M_n(\mathbb{R})$ и $M_n(\mathbb{C})$ — алгебры над $\mathbb{R}$ и над $\mathbb{C}$ соответственно.
2. $\mathbb{C}$ — алгебра над $\mathbb{R}$.
3. Любое поле является алгеброй над этим полем.
4. $A(V)$ — алгебра линейных операторов над векторным пространством $V$.
2. $\mathbb{C}$ — алгебра над $\mathbb{R}$.
3. Любое поле является алгеброй над этим полем.
4. $A(V)$ — алгебра линейных операторов над векторным пространством $V$.
Самый наглядный
$\mathbb{C}$ как алгебра над $\mathbb{R}$ имеет ранг $2$: базис $\{1, i\}$. Любое комплексное число $a + bi$ — это линейная комбинация $a\cdot 1 + b\cdot i$ с вещественными коэффициентами.
10
Биекция между $\mathbb{C}$ и полем квадратных матриц 2-го порядка специального вида
Рассмотрим множество матриц вида
$$P \;=\; \left\{\begin{pmatrix}a & b\\ -b & a\end{pmatrix} : a, b\in\mathbb{R}\right\} \subset M_2(\mathbb{R}).$$
На $P$ заданы две операции (сложение и умножение матриц), и $P$ является абелевой группой по сложению и полугруппой с единицей по умножению. Более того, $P$ — поле.
Введём матрицу $J = \begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$. Тогда
$$J^2 \;=\; \begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} \;=\; -E,$$
то есть $J^2 + E = 0$. Любой элемент $P$ записывается как $aE + bJ$, что соответствует $a + bi$.
Биекция (изоморфизм полей)
Отображение $f\colon \mathbb{R}(i) \to P$, $\;a + bi \longleftrightarrow \begin{pmatrix}a & b\\ -b & a\end{pmatrix}$, является биекцией и изоморфизмом полей.
Матрица $J$ играет роль мнимой единицы $i$. Это даёт чисто матричную модель комплексных чисел: можно вычислять с ними как с матрицами и забыть про букву $i$.
Проверка
Число $1 + i$ соответствует матрице $\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$.
$(1+i)^2 = 2i$. Проверим: $$\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} = 0\cdot E + 2\cdot J,$$ что и есть $0 + 2i = 2i$. ✓
$(1+i)^2 = 2i$. Проверим: $$\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} = 0\cdot E + 2\cdot J,$$ что и есть $0 + 2i = 2i$. ✓