MoziHelper

MoziHelper

Этот справочник поможет сдать вам сессию.

92вопроса
6тем
157в квизе
База · 1-й семестр

То что нужно помнить с прошлого семестра

Эти понятия используются почти в каждом из 92 вопросов, но сами их определения остались в курсе 1-го семестра. Здесь они собраны и кратко напомнены.

Тема I · Глава IX

Общие теоретико-групповые конструкции

01 Полугруппа и моноид (определения, примеры)
Определение
Бинарная алгебраическая операция на множестве $X$ — отображение $\tau\colon X\times X\to X$. Операция $*$ определяет на $X$ алгебраическую структуру $(X, *)$.
Операция $*$ называется ассоциативной, если $\forall a,b,c\in X$ $$(a*b)*c \;=\; a*(b*c);$$ коммутативной, если $\forall a,b\in X$ $$a*b \;=\; b*a.$$ Элемент $e\in X$ называется единичным (нейтральным), если $\forall x\in X$ $$e*x \;=\; x*e \;=\; x.$$
Полугруппа — множество с заданной на нём бинарной ассоциативной операцией.
Моноид — полугруппа, в которой есть единичный элемент. Моноид также называют полугруппой с единицей.
Моноид — это просто множество с «умножением», у которого есть единица. Полугруппа — то же самое, но без единицы. Никаких обратных элементов пока не требуется.
Примеры из лекции
1а. Пусть $\Omega$ — произвольное множество, $M(\Omega)$ — множество всех его преобразований в себя. Тогда $(M(\Omega), \circ, e_\Omega)$ — моноид, где $\circ$ — композиция отображений, $e_\Omega$ — тождественное отображение.

2. Пусть $P(\Omega)$ — множество всех подмножеств $\Omega$. Тогда $(P(\Omega), \cup, \varnothing)$ и $(P(\Omega), \cap, \Omega)$ — коммутативные моноиды.

3. $(M_n(\mathbb{R}), +, O)$ — коммутативный моноид с нейтральным элементом $O$ — нулевой матрицей. $(M_n(\mathbb{R}), \cdot, E)$ — некоммутативный моноид с единичной матрицей $E$.

4. $n\mathbb{Z} = \{nm \mid m\in\mathbb{Z}\}$. Тогда $(n\mathbb{Z}, +, 0)$ — коммутативный моноид, $(n\mathbb{Z}, \cdot)$ — коммутативная полугруппа (без единицы, ведь $1\notin n\mathbb{Z}$ при $n>1$).
Самые простые примеры от меня
Моноид: $(\mathbb{N}_0, +, 0)$ — натуральные числа с нулём по сложению. Ассоциативность сложения известна со школы, $0$ — нейтральный: $0+n=n+0=n$.

Полугруппа, не являющаяся моноидом: $(\mathbb{N}, +)$ — натуральные без нуля. Сложение ассоциативно, но нет нейтрального элемента: единственный кандидат $0$ не лежит в $\mathbb{N}$.

Моноид с буквами: множество всех конечных слов из букв $\{a, b\}$ с операцией «приписать справа», нейтральный элемент — пустое слово $\varepsilon$. Например, $ab*ba = abba$.
02 Вычисление степеней элементов в коммутативном моноиде
Теорема (обобщённая ассоциативность)
Если бинарная операция $*$ на множестве $X$ ассоциативна, то результат её последовательного применения к $n$ элементам множества $X$ не зависит от расстановки скобок.
Степень
В моноиде $(M, \cdot, e)$ для $x\in M$ и $n\in\mathbb{N}$: $$x^n \;=\; \underbrace{x\cdot x\cdot \ldots \cdot x}_{n\text{ раз}}, \qquad x^0 := e.$$
Утверждение
В коммутативном моноиде $X$ для любых $x,y\in X$ и $n\in\mathbb{N}$ $$(xy)^n \;=\; x^n y^n.$$
В коммутативном моноиде множители можно свободно переставлять, поэтому $(xy)(xy)\ldots(xy)$ можно «перетасовать» в $xx\ldots x \cdot yy\ldots y = x^n y^n$. В некоммутативном случае это неверно: для матриц $(AB)^2 = ABAB \ne A^2B^2$ в общем случае.
Самый простой пример от меня
В $(\mathbb{R}, \cdot, 1)$: $(2\cdot 3)^4 = 6^4 = 1296$ и одновременно $2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296$. Совпадают.

А вот в $M_2(\mathbb{R})$ (некоммутативный моноид) с матрицами $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$: $AB = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $(AB)^2 = AB$, но $A^2 B^2 = 0 \cdot 0 = 0$. Не совпадают.
03 Обратимый элемент моноида (определение, примеры)
Определение
Пусть $(M, \cdot, e)$ — моноид. Элемент $a\in M$ называется обратимым, если $$\exists\, b\in M:\quad a\cdot b \;=\; b\cdot a \;=\; e.$$ Обратный элемент определён однозначно и обозначается $a^{-1}$.
Утверждение
Множество всех обратимых элементов моноида $(M, \cdot, e)$ замкнуто относительно операции $\cdot$ и образует подмоноид в $M$, то есть само является моноидом.
Единственность обратного: если $b$ и $c$ — оба обратные к $a$, то $b = b\cdot e = b\cdot(a\cdot c) = (b\cdot a)\cdot c = e\cdot c = c$. Замкнутость по умножению: если $a, b$ обратимы, то $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$.
Примеры из лекции
В моноиде $(M_n(\mathbb{R}), \cdot, E)$ обратимые элементы — это в точности матрицы с ненулевым определителем. Множество всех таких матриц образует подмоноид (и даже группу) $GL_n(\mathbb{R})$.
Самые простые примеры от меня
В $(\mathbb{Z}, \cdot, 1)$: обратимы только $\pm 1$ (потому что $a\cdot b = 1$ и $a,b\in\mathbb{Z}$ возможно только при $a=b=1$ или $a=b=-1$).

В $(\mathbb{Q}, \cdot, 1)$: обратимы все ненулевые числа: $(3/5)^{-1} = 5/3$.

В $(M_2(\mathbb{R}), \cdot, E)$: матрица $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ обратима ($\det=-2\ne 0$), а $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ нет ($\det=0$).
04 Группа (определение, примеры)
Определение
Группа — множество $G$ с определённой на нём бинарной операцией $*$ такой, что
  1. $*$ ассоциативна: $\forall x,y,z\in G\;\; (x*y)*z = x*(y*z);$
  2. $\exists\,e\in G:\;\; e*x = x*e = x \;\;\forall x\in G;$
  3. $\forall x\in G\;\; \exists\, x^{-1}:\;\; x*x^{-1} = x^{-1}*x = e.$
Также можно определить группу как моноид, все элементы которого обратимы.
Группа — это моноид + обратимость всех элементов. Это фундаментальная структура: симметрии любого объекта образуют группу.
Простые примеры
Аддитивные группы: $(\mathbb{Z}, +, 0)$, $(\mathbb{Q}, +, 0)$, $(\mathbb{R}, +, 0)$. Обратный к $a$ — это $-a$.

Мультипликативная группа: $(\mathbb{R}\setminus\{0\}, \cdot, 1)$. Обратный к $a$ — это $1/a$.

Не группа: $(\mathbb{Z}, \cdot, 1)$ — у двойки нет обратного в $\mathbb{Z}$. Это моноид, но не группа.
05 Примеры специальных групп: $GL_n$, $SL_n$, $S_n$, $\mathbb{R}^*$, $\mathbb{Q}^*$
Определения из лекции
$$GL_n(\mathbb{R}) \;=\; \{A\in M_n(\mathbb{R}) \mid \det A \ne 0\}.$$ $GL_n(\mathbb{R})$ с бинарной операцией умножения матриц является группой. Эта группа называется полной линейной группой степени $n$ над $\mathbb{R}$.
$$SL_n(\mathbb{R}) \;=\; \{A\in GL_n(\mathbb{R}) \mid \det A = 1\}$$ — специальная линейная группа степени $n$ над $\mathbb{R}$.
Перестановки на множестве из $n$ элементов образуют группу. Эта группа обозначается $S_n$ и называется симметрической группой перестановок степени $n$. Порядок: $|S_n| = n!$.
$$\mathbb{R}^* \;=\; \mathbb{R}\setminus\{0\} \;=\; GL_1(\mathbb{R}), \qquad \mathbb{Q}^* \;=\; \mathbb{Q}\setminus\{0\} \;=\; GL_1(\mathbb{Q})$$ — мультипликативные группы вещественных и рациональных чисел.
Простой пример: $S_3$
Группа перестановок $\{1,2,3\}$ содержит $3! = 6$ элементов: тождественную $e$, три транспозиции $(12), (13), (23)$ и два цикла $(123), (132)$.
Это самая маленькая некоммутативная группа: $(12)\circ(13) = (132)$, а $(13)\circ(12) = (123)$.
06 Абелева группа. Собственная подгруппа
Определения из лекции
Абелева группа — группа, операция на которой коммутативна.
Если $H\subset G$ и $H$ является группой (относительно той же операции), то $H$ — подгруппа $G$. Подгруппа группы $G$, не являющаяся пустой и не совпадающая с самой группой $G$, называется собственной.
Примеры
Абелевы: $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{R},+)$, $(\mathbb{R}^*, \cdot)$ — все абелевы.
Не абелевы: $GL_n(\mathbb{R})$ при $n\ge 2$, $S_n$ при $n\ge 3$.

Собственная подгруппа: в $(\mathbb{Z},+)$ подгруппа $2\mathbb{Z} = \{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}$ — чётные числа. Она не равна $\{0\}$ и не равна всему $\mathbb{Z}$, значит собственная.
07 Кольцо. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа. Кольцо с единицей, коммутативное кольцо
Определение
Пусть $K$ — произвольное непустое множество, на котором заданы две бинарные алгебраические операции — сложение $+$ и умножение $\cdot$ такие, что
  1. $(K, +, 0)$ — абелева группа ($K$ — абелева группа по сложению);
  2. $(K, \cdot)$ — полугруппа ($K$ — полугруппа по умножению);
  3. $\forall a,b,c\in K:\;\; (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$ и $c\cdot (a+b) = c\cdot a + c\cdot b$.
Тогда $K$ с операциями $+$ и $\cdot$ — кольцо.
$(K, +, 0)$ — аддитивная группа кольца. $(K, \cdot)$ — мультипликативная полугруппа кольца. Если $(K, \cdot)$ — моноид, то $(K, +, \cdot)$ — кольцо с единицей.
Если $\forall x,y\in K\; x\cdot y = y\cdot x$, то $K$ — коммутативное кольцо.
Примеры из лекции
1. $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$, $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$, $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ — коммутативные кольца с $1$.
2. $M_n(\mathbb{R})$ — кольцо квадратных матриц порядка $n$. Является некоммутативным кольцом с единицей.
4. Классы вычетов по модулю $m$ с операциями сложения и умножения образуют кольцо с $1$.
5. Чётные целые числа $2\mathbb{Z}$ — кольцо без $1$.
6. $\mathbb{R}[t]$ — кольцо многочленов от переменной $t$ с коэффициентами из $\mathbb{R}$.
08 Тело и поле (определения, примеры)
Определения из лекции
Тело (кольцо с делением) — такое кольцо $K$, что $K\setminus\{0\}$ — группа по умножению.
Поле — коммутативное кольцо с делением. Иначе говоря, поле — коммутативное кольцо с $1$, в котором каждый ненулевой элемент обратим.
Различие между телом и полем — только в коммутативности умножения. В поле можно делить на любой ненулевой элемент. Классический пример некоммутативного тела — кватернионы.
Примеры из лекции
1. $\mathbb{Q}, \mathbb{R}$ — поля.
2. $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}$ — расширение поля $\mathbb{Q}$.
3. Алгебраические числа — корни всех многочленов с коэффициентами из $\mathbb{Q}$ — поле алгебраических чисел.
4. $\mathbb{C} = \mathbb{R}(i)$ — простое алгебраическое расширение поля $\mathbb{R}$ (поле комплексных чисел).
Простой пример конечного поля
$\mathbb{Z}_5 = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ с операциями по модулю 5 — поле из 5 элементов. Обратный к 2: $2^{-1} = 3$, так как $2\cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$.

А вот $\mathbb{Z}_6$ — НЕ поле: $2\cdot 3 = 6 \equiv 0$, значит у $2$ и $3$ нет обратных (они «делители нуля»). Поле получается только при простом модуле.
09 Алгебра как теоретико-групповая конструкция (определение, примеры)
Определение
Кольцо $A$ — алгебра над полем $P$, если его аддитивная группа есть векторное пространство $V$ над полем $P$ и умножение в $A$ связано с умножением на элементы из $P$ формулой $$\alpha(ab) \;=\; (\alpha a)b \;=\; a(\alpha b) \quad (\forall a, b \in A,\; \forall \alpha \in P).$$ $n = \dim V$ — ранг алгебры.
Примеры из лекции
1. $M_n(\mathbb{R})$ и $M_n(\mathbb{C})$ — алгебры над $\mathbb{R}$ и над $\mathbb{C}$ соответственно.
2. $\mathbb{C}$ — алгебра над $\mathbb{R}$.
3. Любое поле является алгеброй над этим полем.
4. $A(V)$ — алгебра линейных операторов над векторным пространством $V$.
Самый наглядный
$\mathbb{C}$ как алгебра над $\mathbb{R}$ имеет ранг $2$: базис $\{1, i\}$. Любое комплексное число $a + bi$ — это линейная комбинация $a\cdot 1 + b\cdot i$ с вещественными коэффициентами.
10 Биекция между $\mathbb{C}$ и полем квадратных матриц 2-го порядка специального вида
Рассмотрим множество матриц вида $$P \;=\; \left\{\begin{pmatrix}a & b\\ -b & a\end{pmatrix} : a, b\in\mathbb{R}\right\} \subset M_2(\mathbb{R}).$$ На $P$ заданы две операции (сложение и умножение матриц), и $P$ является абелевой группой по сложению и полугруппой с единицей по умножению. Более того, $P$ — поле.
Введём матрицу $J = \begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$. Тогда $$J^2 \;=\; \begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} \;=\; -E,$$ то есть $J^2 + E = 0$. Любой элемент $P$ записывается как $aE + bJ$, что соответствует $a + bi$.
Биекция (изоморфизм полей)
Отображение $f\colon \mathbb{R}(i) \to P$, $\;a + bi \longleftrightarrow \begin{pmatrix}a & b\\ -b & a\end{pmatrix}$, является биекцией и изоморфизмом полей.
Матрица $J$ играет роль мнимой единицы $i$. Это даёт чисто матричную модель комплексных чисел: можно вычислять с ними как с матрицами и забыть про букву $i$.
Проверка
Число $1 + i$ соответствует матрице $\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$.

$(1+i)^2 = 2i$. Проверим: $$\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} = 0\cdot E + 2\cdot J,$$ что и есть $0 + 2i = 2i$. ✓
Тема II · Глава II

Комплексные числа

11 Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы. Модуль, аргумент, сопряжённое, комплексная плоскость
Алгебраическая форма
Поле комплексных чисел: $\mathbb{C} = \mathbb{R}(i) = \{a + bi \mid a,b\in\mathbb{R}\}$, где $i$ — мнимая единица, $i^2 = -1$.

Для $z = a + bi$:
  • $a = \operatorname{Re} z$ — действительная часть;
  • $b = \operatorname{Im} z$ — мнимая часть;
  • если $a = 0$, то $z = bi$ — чисто мнимое число;
  • $\bar z = a - bi$ — комплексно сопряжённое к $z$;
  • $z = a + bi$ — алгебраическая форма записи комплексного числа.
Тригонометрическая форма
Пусть $z = a + bi$, $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos\varphi = a/r$, $\sin\varphi = b/r$.
  • $r = |z|$ — модуль комплексного числа $z$;
  • $\varphi = \arg z$ — аргумент комплексного числа $z$.
Аргумент определён с точностью до $2\pi m$, $m\in\mathbb{Z}$. $$a = r\cos\varphi, \quad b = r\sin\varphi,$$ $$z = a + bi = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \;-\; \text{тригонометрическая форма}.$$
Показательная форма
$$z = re^{i\varphi} \;-\; \text{показательная форма записи комплексного числа}.$$ Здесь используется формула Эйлера $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ (см. вопрос 14).
Комплексная плоскость
Число $z = a + bi$ изображается точкой $(a, b)$ на плоскости. Ось $Ox$ — действительная ось, ось $Oy$ — мнимая ось.
Простой пример: $z = 1 + i$
$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos\varphi = 1/\sqrt 2$, $\sin\varphi = 1/\sqrt 2 \;\Rightarrow\; \varphi = \pi/4$.

Тригонометрическая: $z = \sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4} + i\sin\tfrac{\pi}{4}\bigr)$.
Показательная: $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.
Сопряжённое: $\bar z = 1 - i$.
12 Арифметические действия с комплексными числами
Сложение и умножение
Пусть $z_1 = a_1 + b_1 i$, $z_2 = a_2 + b_2 i$. Тогда $$z_1 + z_2 \;=\; (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2),$$ $$\begin{aligned}z_1 z_2 &= (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i)\\ &= a_1 a_2 + a_1 b_2 i + a_2 b_1 i + b_1 b_2 i^2\\ &= (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) i.\end{aligned}$$
Деление
Делим, домножая на сопряжённое знаменателя: $$\frac{z_1}{z_2} \;=\; \frac{z_1 \bar z_2}{z_2 \bar z_2} \;=\; \frac{z_1 \bar z_2}{|z_2|^2}.$$
Теорема (умножение и деление в тригон. форме)
$\forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}$: $$|z_1 z_2| = |z_1|\cdot |z_2|, \quad \arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2,$$ $$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\;(z_2\ne 0), \quad \arg\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2.$$ Замечание (неравенство треугольника): $\bigl||z_1| - |z_2|\bigr| \le |z_1 \pm z_2| \le |z_1| + |z_2|$.
Простой пример
$z_1 = 3 + 2i$, $z_2 = 1 - i$.

$z_1 + z_2 = 4 + i$.
$z_1 z_2 = (3\cdot 1 - 2\cdot(-1)) + (3\cdot(-1) + 2\cdot 1)i = 5 - i$.
$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3 + 3i + 2i - 2}{2} = \dfrac{1 + 5i}{2}$.
13 Формула Муавра (с выводом)
Вывод
Возьмём $z_1 = z_2 = \ldots = z_n = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ и применим теорему об умножении в тригонометрической форме $n$ раз: модули перемножаются, аргументы складываются. Получим:
$$z^n \;=\; r^n\bigl(\cos n\varphi + i\sin n\varphi\bigr) \quad \text{— формула Муавра}.$$
На множестве $\mathbb{C}$ нет отношения порядка: комплексные числа нельзя сравнивать «больше — меньше».
Следствие: $z^{-1} = r^{-1}\bigl(\cos(-\varphi) + i\sin(-\varphi)\bigr)$. Для нахождения $z^{-1}$ нужно сделать инверсию модуля и отражение аргумента.
Простой пример: $(1+i)^8$
$1 + i = \sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4} + i\sin\tfrac{\pi}{4}\bigr)$.
По Муавру: $(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8\bigl(\cos 2\pi + i\sin 2\pi\bigr) = 16\cdot 1 = 16$.
14 Формула Эйлера (с выводом)
Вывод
Используем ряды Тейлора: $$e^x = \sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^j}{j!}, \quad \sin x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}, \quad \cos x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}.$$ Подставим $x = i\varphi$ в ряд для $e^x$: $$e^{i\varphi} = \sum_{j=0}^{\infty}\frac{(i\varphi)^j}{j!}.$$ Выделяя вещественную и мнимую части (используя $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$): $$e^{i\varphi} = \underbrace{\left(1 - \frac{\varphi^2}{2!} + \frac{\varphi^4}{4!} - \ldots\right)}_{\cos\varphi} + i\underbrace{\left(\varphi - \frac{\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^5}{5!} - \ldots\right)}_{\sin\varphi}.$$
$$e^{i\varphi} \;=\; \cos\varphi + i\sin\varphi \quad \text{— формула Эйлера.}$$
Отсюда показательная форма комплексного числа: $\;z = re^{i\varphi}$.
При $\varphi = \pi$: $e^{i\pi} + 1 = 0$ — знаменитое тождество Эйлера, связывающее пять важнейших констант математики.
Тема III · Глава XI

Многочлены

15 Одночлен, многочлен. Равенство многочленов. Действия с многочленами
Определения из лекции
Одночлен: $ax^m$, где $a\in\mathbb{R}$, $m\in\mathbb{N}$. $ax^m$ и $bx^m$ — подобные одночлены.

Многочлен — алгебраическая сумма одночленов. $$a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_n \;-\; \text{каноническая форма записи многочлена.}$$ Если $x$ — переменная, то $p(x) = \sum_{j=0}^{n} a_j x^{n-j}$ — многочлен (целая рациональная функция).
Действия
Многочлены можно складывать и перемножать по правилам: $$ax^m + bx^m = (a+b)x^m, \qquad ax^m \cdot bx^k = ab\,x^{m+k}.$$
Равенство многочленов
$$\sum_{j=0}^{n}a_j x^{n-j} = \sum_{j=0}^{n} b_j x^{n-j} \;\Leftrightarrow\; a_j = b_j,\; j=0,\ldots,n.$$
Сумма: $\displaystyle\sum a_j x^{n-j} + \sum b_j x^{n-j} = \sum (a_j + b_j) x^{n-j}$.
Произведение: коэффициент при $x^{n+m-k}$ в произведении равен $$a_0 b_k + a_1 b_{k-1} + \ldots + a_k b_0,$$ где $a_i = 0$ при $i > n$, $b_j = 0$ при $j > m$.
Самый простой пример
$(x + 1)(x - 2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$.

Проверка равенства: $x^2 + 0\cdot x + 1 = x^2 + 1$ — коэффициенты при $x^0$ совпадают ($=1$), при $x^1$ — оба нули. ✓
16 Теорема о кольце многочленов. Введение многочленов через последовательности
Теорема (о кольце многочленов)
$A[t]$ — множество многочленов от переменной $t$ с элементами из кольца $A$ — составляет коммутативное кольцо с единицей. Роль $0$ в этом кольце играет нулевой многочлен, роль $1$ — единица кольца $A$.
Введение многочленов через последовательности
Рассмотрим бесконечные последовательности вида $(a_0, a_1, \ldots, a_k, \ldots)$, $a_i\in A$. Пусть все элементы этих последовательностей, начиная с некоторого, равны $0$.
Действия с последовательностями:
1. $(a_k) = (b_k) \Leftrightarrow a_j = b_j\;\forall j$.
2. $(a_k) + (b_k) = (a_k + b_k)$.
3. $(a_k)\cdot(b_k) = (c_k)$, где $c_k = a_0 b_k + a_1 b_{k-1} + \ldots + a_k b_0$.
В частности, $a\in A = (a, 0, 0, \ldots)$ — кольцо $A$ вкладывается в множество последовательностей. Положив $x = (0, 1, 0, 0, \ldots)$, получаем $$(a_0, a_1, \ldots, a_n, 0, \ldots) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n.$$
Зачем это нужно: формальное определение многочлена не через «переменную» (которая на самом деле не определена), а через конечные последовательности коэффициентов. Это строгий способ ввести $\mathbb{R}[x]$.
17 Степень многочлена. Теорема о степени произведения. Значение многочлена. Корень
Определения
Пусть $f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_n$, $a_0 \ne 0$.
  • $a_0 x^n$ — высший член многочлена $f(x)$;
  • $n$ — степень многочлена $f(x)$. Обозначение: $\deg f = n$;
  • степень нулевого многочлена по определению полагается равной $-\infty$: $\deg 0 = -\infty$.
Утверждение (о степени произведения двух многочленов)
$\forall f, g \in K[x]$, где $K$ — поле, $$\deg(fg) \;=\; \deg f + \deg g.$$ Соглашения: $\deg(0\cdot 0) = -\infty - \infty = -\infty$, $\deg(0\cdot x^k) = -\infty + k = -\infty$.
Значение многочлена
Пусть кольцо $B$ содержит кольцо $A$ в своём центре (элементы $A$ коммутируют со всеми элементами из $B$), $1_A = 1_B$. Выберем $f(x) = \sum_{j=0}^{n} a_j x^{n-j} \in A[x]$, $c\in B$. Тогда значением многочлена в $c$ называется $$f(c) \;=\; \sum_{j=0}^{n} a_j c^{n-j} \in B.$$
Корень многочлена
$c$ — корень многочлена $f(x)$, если $f(c) = 0$.
Простой пример
$f(x) = x^2 - 3x + 2$. $\deg f = 2$.
$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x=1$ — корень.
$f(2) = 4 - 6 + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x=2$ — корень.
Действительно, $f(x) = (x-1)(x-2)$.
18 Теорема о делении многочлена на линейный двучлен. Схема Горнера. Теорема Безу
Пусть $K$ — поле, $f, g \in K[x]$. Если $\exists h \in K[x]\colon f = gh$, то говорят, что многочлен $f(x)$ делится на многочлен $g(x)$.
Теорема (о делении многочлена на линейный двучлен)
Пусть $f(x) = \sum_{j=0}^{n} a_j x^{n-j} \in K[x]$, $c\in K$. Тогда $\exists h(x)\in K[x]$, $\exists r\in K$: $$f(x) \;=\; (x-c)\,h(x) + r.$$ Способ вычисления коэффициентов $h(x)$ и остатка $r$ — схема Горнера.
Теорема Безу
$f(x) \in K[x]$ делится на $x - c$ (где $K$ — поле, $c\in K$) тогда и только тогда, когда $c$ — корень $f(x)$.

Эквивалентная формулировка: остаток от деления $f(x)$ на $(x-c)$ равен $f(c)$.
Схема Горнера
Пусть $f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_n$. Коэффициенты $b_0, b_1, \ldots, b_{n-1}$ многочлена $h(x) = b_0 x^{n-1} + \ldots + b_{n-1}$ и остаток $r$ вычисляются последовательно: $$b_0 = a_0, \quad b_k = b_{k-1}\cdot c + a_k\;(k=1,\ldots,n-1), \quad r = b_{n-1}\cdot c + a_n = f(c).$$
Пример из лекции
Найти частное и остаток от деления $x^5$ на $x - 2$ по схеме Горнера.

Коэффициенты $f(x) = x^5$: $1, 0, 0, 0, 0, 0$. $c = 2$: $$b_0=1,\; b_1=1\cdot 2 + 0=2,\; b_2=4,\; b_3=8,\; b_4=16,\; r=32.$$ Ответ: $\;x^5 = (x-2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16) + 32.$
Простой пример
$f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4$ делим на $x - 2$. Коэффициенты: $1, -2, 3, -4$:
$b_0 = 1$; $b_1 = 1\cdot 2 - 2 = 0$; $b_2 = 0\cdot 2 + 3 = 3$; $r = 3\cdot 2 - 4 = 2$.
Итог: $\;x^3 - 2x^2 + 3x - 4 = (x-2)(x^2 + 3) + 2$. По Безу: $f(2) = 2$. ✓
19 Теорема о числе корней многочлена. Теорема о тождестве многочленов
Теорема (о числе корней многочлена)
Пусть $K$ — поле, $f(x) = \sum_{j=0}^n a_j x^{n-j} \in K[x]$. Тогда число корней $f(x)$ в $K$ не превосходит $\deg f(x) = n$.
Теорема (о тождестве многочленов)
Если поле $K$ бесконечное, то два многочлена $f$ и $g$ из $K[x]$, принимающие одинаковые значения при всех $c\in K$, равны.
Эти две теоремы выглядят похожими, но важно различать: первая — про многочлен и его корни (как алгебраический объект), вторая — про многочлен и значения функции. Над бесконечным полем «многочлен» и «полиномиальная функция» отождествляются, над конечным — нет.
Пример
$f(x) = x^3 - x$ имеет корни $0, 1, -1$ — ровно $3 = \deg f$. Больше быть не может.

А над конечным полем $\mathbb{Z}_5$: многочлен $x^5 - x$ как функция тождественно равен нулю (малая теорема Ферма), но как многочлен — не нулевой. Поэтому условие «$K$ бесконечно» в теореме о тождестве существенно.
20 Алгебраически замкнутое поле (определение, пример). Теорема о разложении многочлена на множители
Определение
Поле алгебраически замкнутое, если любой многочлен из $K[x]$ положительной степени имеет в $K$ хотя бы один корень.
Теорема (о разложении в алгебраически замкнутом поле)
1. В алгебраически замкнутом поле любой многочлен $f(x) = \sum_{j=0}^n a_j x^{n-j}$, $a_0\ne 0$, $n\ge 1$, единственным образом раскладывается на линейные множители: $$f(x) \;=\; a_0(x - c_1)^{m_1}\cdot\ldots\cdot(x - c_k)^{m_k}, \quad c_i \ne c_j \text{ при } i\ne j.$$ Числа $m_1, \ldots, m_k$ называются кратностями корней $c_1, \ldots, c_k$.

2. В алгебраически замкнутом поле число корней многочлена равно его степени, если каждый корень считается столько раз, какова его кратность.
Примеры
$\mathbb{C}$ — алгебраически замкнуто (основная теорема алгебры).
$\mathbb{R}$ — НЕ замкнуто: $x^2 + 1 \in \mathbb{R}[x]$ не имеет вещественных корней.

Над $\mathbb{C}$: $\;x^4 - 1 = (x-1)(x+1)(x-i)(x+i)$ — четыре простых корня, $\deg = 4$. ✓
21 Основная задача теории делимости. Делители многочленов. Ассоциированные многочлены. Неразложимые элементы
Делимость
Пусть $K$ — кольцо. $a\in K[x]$ делится на $b\in K[x]$, если $\exists c\in K[x]: a = bc$ (синонимы: $a$ — кратное для $b$, $b$ — делитель $a$, $b$ делит $a$).

Свойства: если $a$ и $b$ делятся на $c$, то $a\pm b$ делится на $c$. Если $a$ делится на $b$, а $b$ — на $c$, то $a$ делится на $c$.
Обратимые и ассоциированные
Элемент $a\in K[x]$ обратимый, если $\exists a^{-1}: a\cdot a^{-1} = 1$.

Ассоциированные элементы — элементы, отличающиеся обратимым множителем (в кольце многочленов — постоянной, например, $x$ и $8x$).
Утверждение
Любой элемент из $K[x]$ делится на ассоциированные элементы и на единицы (обратимые элементы).
Неразложимые элементы
Неразложимые элементы — необратимые элементы, не имеющие делителей, кроме ассоциированных элементов и единиц.
Пример
Над $\mathbb{R}$: многочлен $x^2 + 1$ неразложим (нет вещественных корней, значит не делится ни на какой $x - c$).
Над $\mathbb{C}$: $x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$ — разложим.

Ассоциированные: $2x - 4$ и $x - 2$ ассоциированы (отличаются на константу $2$). Также $7(x^2 + 1)$ ассоциировано с $x^2 + 1$.
22 Факториальное кольцо. Теорема о факториальных кольцах
Цель теории делимости — выяснение характера разложения любого элемента кольца в произведение неразложимых.
Определение
Факториальное кольцо — кольцо, в котором любой элемент раскладывается в произведение неразложимых, и это разложение однозначно с точностью до порядка элементов и замены их на ассоциированные.
Теорема (о факториальных кольцах)
1. $\mathbb{Z}$ — факториальное кольцо. Неразложимыми элементами $\mathbb{Z}$ являются простые числа $p_i$.
2. Пусть $K$ — алгебраически замкнутое поле. Тогда $K[x]$ — факториальное кольцо. Неразложимыми элементами $K[x]$ являются многочлены $x - c$ ($c\in K$), единицами — $K\setminus\{0\}$ (все элементы поля кроме $0$).
Аналогия
В $\mathbb{Z}$: $12 = 2^2 \cdot 3$ — единственное разложение на простые.
В $\mathbb{C}[x]$: $x^3 - x = x(x-1)(x+1)$ — единственное разложение на линейные множители.
23 НОД двух многочленов. Теорема о НОДе
Нормализованные многочлены
Нормализованные многочлены — многочлены со старшим коэффициентом $1$.
Определение НОД
НОД двух многочленов $f, g\in K[x]$ — многочлен наибольшей степени с коэффициентами из $K$, на который делится и $f$, и $g$.
Теорема (о НОДе многочленов)
НОД любых двух многочленов $f(x)$ и $g(x)$ из $K[x]$ существует и единственен с точностью до ассоциированности. Коэффициенты НОДа принадлежат полю $K$. Нормализованный НОД допускает линейное представление в виде $$d(x) \;=\; f(x)\,M(x) + g(x)\,N(x),$$ где $M(x), N(x) \in K[x]$.
Простой пример
$f(x) = x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, $g(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Общие делители: константы и $(x-1)$ с множителями. Нормализованный НОД: $d(x) = x - 1$.

Линейное представление можно найти алгоритмом Евклида (см. вопрос 24).
24 Алгоритм Евклида нахождения НОДа (с доказательством)
Теорема (о делении многочленов с остатком)
$\forall f, g\in K[x]$, $g\ne 0$, $\exists!\, q, r\in K[x]$: $\;f = gq + r,\;\; \deg r < \deg g$. $q$ — частное, $r$ — остаток от деления $f$ на $g$.
Алгоритм Евклида
Последовательно делим с остатком: $$\begin{aligned}f_1 &= f_2 q_1 + r_1,\\ f_2 &= r_1 q_2 + r_2,\\ r_1 &= r_2 q_3 + r_3,\\ &\;\;\vdots\\ r_{k-2} &= r_{k-1} q_k + r_k,\\ r_{k-1} &= r_k q_{k+1}.\end{aligned}$$
Доказательство
В цепочке равенств $\deg r_1 < \deg f_2$, $\deg r_2 < \deg r_1$, $\deg r_3 < \deg r_2$, ..., $\deg r_k < \deg r_{k-1}$. Степени остатков $r_j$ уменьшаются, следовательно, последнее деление будет без остатка.

Если посмотреть на равенства снизу вверх, то окажется, что $r_{k-1}, r_{k-2}, \ldots, f_2, f_1$ делятся на $r_k$. С другой стороны, если посмотреть сверху вниз, можно заметить, что $r_1, r_2, \ldots, r_k$ делятся на любой общий делитель многочленов $f_1$ и $f_2$. Значит, последний ненулевой остаток $r_k$ есть НОД $f_1$ и $f_2$.
Простой пример
Найдём НОД $f_1 = x^3 - 1$ и $f_2 = x^2 - 1$.
$x^3 - 1 = (x^2 - 1)\cdot x + (x - 1)$, остаток $r_1 = x - 1$.
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1) + 0$, остаток $r_2 = 0$.
Последний ненулевой остаток: $r_1 = x - 1 = $ НОД. ✓
25 Теорема о каноническом разложении многочленов
$f\in K[x]$, $f\ne \text{const}$ — неприводимый многочлен, если $f(x)$ не имеет в $K[x]$ делителей, отличных от постоянных и ассоциированных многочленов.
Теорема (о каноническом разложении)
1. Любой многочлен с коэффициентами из поля $K$ степени не менее $1$ представляется в виде произведения неприводимых над $K[x]$ многочленов, причём такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности.

2. Над полем вещественных чисел $\mathbb{R}$ неприводимыми многочленами являются только многочлены 1-й степени и многочлены 2-й степени, не имеющие вещественных корней.

3. Над $\mathbb{C}$ неприводимы только многочлены вида $z - c$, где $c\in\mathbb{C}$.
Простые примеры
Над $\mathbb{R}$: $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$. Множитель $x^2 + 1$ неприводим — нет вещественных корней.

Над $\mathbb{C}$: $x^4 - 1 = (x-1)(x+1)(x-i)(x+i)$. Все множители линейные.
26 Основная теорема алгебры
Основная теорема алгебры
Любой многочлен $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ степени $n\ge 1$ имеет хотя бы один корень в $\mathbb{C}$.
Следствия
1. $\mathbb{C}$ — алгебраически замкнутое поле.
2. Любой $f \in \mathbb{C}[x]$ степени $n$ раскладывается на $n$ линейных множителей (с учётом кратностей): $$f(x) = a_0(x - c_1)^{m_1}\cdots(x - c_k)^{m_k},\quad m_1 + \ldots + m_k = n.$$
Основная теорема алгебры не имеет «чисто алгебраического» доказательства. Классические доказательства используют топологию или комплексный анализ.
27 Производная многочлена. Свойства производной. Формула Тейлора для многочленов
Поле может быть конечным (состоять из конечного числа элементов), а для конечных полей понятие предела не имеет смысла. Поэтому принятое в матанализе понятие производной не применимо к многочленам над произвольным полем — её определяют алгебраически.
Определение
Производная многочлена $f(x) = \sum_{j=0}^n a_j x^{n-j}$ — многочлен $$f'(x) = n a_0 x^{n-1} + (n-1) a_1 x^{n-2} + \ldots + a_{n-1} = \sum_{j=1}^n (n-j) a_j x^{n-j-1}.$$
Свойства производной
Пусть $C = \text{const}$, $f, g, f_1, \ldots, f_k \in K[x]$, $K$ — поле.
  1. $C' = 0$;
  2. $(x - C)' = 1$;
  3. $(f + g)' = f' + g'$;
  4. $(Cf)' = Cf'$;
  5. $(f_1 f_2 \ldots f_k)' = f_1' f_2 \ldots f_k + f_1 f_2' \ldots f_k + \ldots + f_1 f_2 \ldots f_k'$.
В частности, $(fg)' = f'g + fg'$, $(f^k)' = k f^{k-1} f'$, $((x-c)^k)' = k(x-c)^{k-1}$.
Поле нулевой характеристики
Поле нулевой характеристики — поле, в котором ни для какого $n\in\mathbb{N}$ сумма $n$ единиц не равна $0$. Пример поля ненулевой характеристики — $\mathbb{Z}_p$ (вычеты по простому модулю $p$): при $p = 3$ имеем $1 + 1 + 1 = 0$.
Теорема (формула Тейлора)
Пусть $f\in K[x]$, $K$ — поле нулевой характеристики, $\deg f = n$, $c\in K$. Тогда $$f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) + \frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n.$$
Простой пример
$f(x) = x^3 - 3x + 2$, разложим в ряд Тейлора около $c = 1$.
$f(1) = 0$; $f'(x) = 3x^2 - 3$, $f'(1) = 0$; $f''(x) = 6x$, $f''(1) = 6$; $f'''(x) = 6$, $f'''(1) = 6$.
$f(x) = 0 + 0\cdot(x-1) + \tfrac{6}{2}(x-1)^2 + \tfrac{6}{6}(x-1)^3 = 3(x-1)^2 + (x-1)^3$.
Проверка раскрытием: $3(x-1)^2 + (x-1)^3 = 3x^2 - 6x + 3 + x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = x^3 - 3x + 2$. ✓
28 Теорема о корнях производного многочлена (с примером)
Теорема (о корнях производного многочлена)
Пусть $K$ — поле нулевой характеристики. Тогда
1. корень многочлена из $K[x]$ кратности $k$ является корнем производной этого многочлена кратности $k - 1$;
2. неприводимый над $K$ многочлен $f$, соответствующий корню $c$ кратности $k$, входит в разложение производной $f'$ многочлена $f$, причём показатель степени $x - c$ в разложении $f'$ равен $k - 1$.
Пример из лекции
$f(x) = x(x-1)^2 = x^3 - 2x^2 + x$ имеет в $\mathbb{R}[x]$ два корня: $x_1 = 0$ кратности $1$ и $x_2 = 1$ кратности $2$.
Производная $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$ имеет корни $x_2 = 1$ (корень $f(x)$ кратности $2 - 1 = 1$) и $x_3 = 1/3$ кратности $1$.
29 Рациональная дробь. Поле рациональных функций. Нормализованная дробь
Определение
Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) — частное от деления двух многочленов: $$K(x) = \left\{\frac{f}{g} \;\middle|\; f, g \in K[x],\; g \ne 0\right\}.$$ Две рациональные дроби равны, если от одной из них можно перейти к другой посредством домножения и сокращения.
Утверждение
Множество дробей $K(x)$ является полем. Оно называется полем рациональных функций.
Нормализованная дробь — несократимая дробно-рациональная функция с нормализованным знаменателем (старший коэффициент знаменателя равен $1$).
Простой пример
$\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$ — дробь свелась к многочлену.

Нормализованная форма для $\dfrac{2x + 4}{2x - 6}$: сокращаем числитель и знаменатель на $2$, получаем $\dfrac{x + 2}{x - 3}$.
30 Правильная рациональная дробь. Теорема о разложении рациональных дробей
Определение
Рациональная дробь $\dfrac{f}{g}$ правильная, если $\deg f < \deg g$.
Примеры из лекции
$\dfrac{x + 3}{x^2}$ — правильная рациональная дробь ($\deg f = 1 < \deg g = 2$).
$\dfrac{(x+1)^3}{x^2 - 3x + 7}$ — неправильная рациональная дробь ($\deg f = 3 > \deg g = 2$).
Теорема (о разложении рациональных дробей)
Любая рациональная дробь является суммой многочлена и правильной дроби.
Пример из лекции
$$\frac{x^2 + 4x + 8}{x + 2} = x + 2 + \frac{4}{x + 2}.$$ Проверка: $(x+2)(x+2) + 4 = x^2 + 4x + 4 + 4 = x^2 + 4x + 8$. ✓
31 Теорема о замкнутости множества рациональных дробей относительно арифметических операций (с примерами)
Теорема
Сумма, разность и произведение правильных рациональных дробей есть правильные рациональные дроби.
Пример из лекции
$f = \dfrac{1}{x}$, $g = \dfrac{x + 7}{x^2 + 1}$. $$f + g = \frac{x^2 + 1 + x^2 + 7x}{x(x^2 + 1)} = \frac{2x^2 + 7x + 1}{x(x^2 + 1)},$$ $$f - g = \frac{x^2 + 1 - (x^2 + 7x)}{x(x^2 + 1)} = \frac{1 - 7x}{x(x^2 + 1)},$$ $$fg = \frac{x + 7}{x(x^2 + 1)}.$$ Во всех результатах $\deg$ числителя меньше $\deg$ знаменателя — дроби правильные.
32 Примарные дроби. Простейшие дроби. Теоремы о разложении правильной дроби
Теорема (о разложении на дроби со взаимно простыми знаменателями)
Если знаменатель правильной рациональной дроби $\dfrac{f}{g}$ есть произведение взаимно простых многочленов $g = g_1 \ldots g_k$, то дробь $\dfrac{f}{g}$ представляется в виде суммы правильных дробей $$\frac{f_1}{g_1} + \ldots + \frac{f_k}{g_k},$$ причём такое представление единственно.
Примарные и простейшие дроби
Пусть $\dfrac{f}{g}$ — рациональная дробь, $g = a_0\,g_1^{m_1}\cdots g_k^{m_k}$ — каноническое разложение знаменателя на неприводимые множители.

Примарные дроби — правильные дроби со знаменателями $g_1^{m_1}, \ldots, g_k^{m_k}$, на которые раскладывается дробь $\dfrac{f}{g}$.

Простейшая дробь — примарная дробь, числитель которой есть многочлен, степень которого меньше степени неприводимого многочлена, входящего в знаменатель.
Схема разложения: произвольная рациональная дробь $\to$ правильная $\to$ примарная $\to$ простейшая.
Теорема (о разложении рациональной дроби на простейшие)
Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, причём такое представление единственно. Предполагается, что коэффициенты многочленов, входящих в дроби, берутся из поля $K$ нулевой характеристики.
33 Разложение рациональной дроби на простейшие над полем $\mathbb{R}$ (с примером)
Если $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ — правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид $$g(x) = (x - a_1)^{m_1}\cdots(x - a_k)^{m_k}\cdot(x^2 + p_1 x + q_1)^{n_1}\cdots(x^2 + p_l x + q_l)^{n_l},$$ то для этой дроби справедливо разложение на сумму простейших дробей вида $$\frac{A^{(i)}_s}{(x - a_i)^s} \quad \text{и} \quad \frac{M^{(j)}_s\, x + N^{(j)}_s}{(x^2 + p_j x + q_j)^s}.$$
Пример из лекции
Разложим на простейшие дробь $\dfrac{1}{(x-1)^2 (x^2 + 1)}$. Простейшими дробями являются $\dfrac{1}{x-1}$, $\dfrac{1}{(x-1)^2}$, $\dfrac{x}{x^2+1}$, $\dfrac{1}{x^2+1}$. Ищем разложение в виде $$\frac{1}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}.$$ Приводя к общему знаменателю: $$A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2 = 1.$$ Раскрывая скобки и собирая по степеням: $$(A+C)x^3 + (-A + B + D - 2C)x^2 + (A + C - 2D)x + (-A + B + D) = 1.$$ Получаем систему: $$\begin{cases}A + C = 0,\\ -A + B + D - 2C = 0,\\ A + C - 2D = 0,\\ -A + B + D = 1.\end{cases}$$ Решение: $A = -\tfrac{1}{2}$, $B = \tfrac{1}{2}$, $C = \tfrac{1}{2}$, $D = 0$. Ответ: $$\frac{1}{(x-1)^2(x^2+1)} = -\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-1)^2} + \frac{x}{2(x^2+1)}.$$ Использованный способ — метод неопределённых коэффициентов. Также применяется метод частных значений — подстановка корней знаменателей.
34 Разложение рациональной дроби на простейшие над полем $\mathbb{C}$ (с примером)
Над $\mathbb{C}$ знаменатель раскладывается только на линейные множители: $g = (x - x_1)^{m_1}\cdots(x - x_k)^{m_k}$, и разложение имеет вид $$\frac{f}{g} = \sum_{i=1}^{k}\sum_{s=1}^{m_i}\frac{A_{i,s}}{(x - x_i)^s}.$$
Пример из лекции
Разложим $\dfrac{1}{x^2 + 7}$ на простейшие над $\mathbb{C}$.
$x^2 + 7 = 0 \Rightarrow x = \pm i\sqrt{7}$, $\;x^2 + 7 = (x - i\sqrt{7})(x + i\sqrt{7})$.
Ищем разложение в виде: $$\frac{1}{x^2 + 7} = \frac{A}{x + i\sqrt{7}} + \frac{B}{x - i\sqrt{7}} = \frac{(A+B)x + (-A + B)i\sqrt{7}}{x^2 + 7}.$$ Приравниваем коэффициенты: $$\begin{cases}A + B = 0,\\ (B - A)i\sqrt{7} = 1.\end{cases}$$ Отсюда $B = -A$, $-2Ai\sqrt{7} = 1 \Rightarrow A = \dfrac{i}{2\sqrt{7}}$, $B = -\dfrac{i}{2\sqrt{7}}$. Окончательно: $$\frac{1}{x^2 + 7} = \frac{i}{2\sqrt{7}(x + i\sqrt{7})} - \frac{i}{2\sqrt{7}(x - i\sqrt{7})}.$$
Тема IV · Глава XII

Жордановы нормальные формы

35 Постановка задачи о нормальной форме матрицы линейного оператора. Теорема о треугольной матрице
Известно, что элементарными преобразованиями любую квадратную матрицу можно привести к диагональному виду. В то же время преобразованиями подобия (матрицы $A$ и $B$ подобны, $A \sim B$, если $\exists C$: $B = C^{-1}AC$, $\det C \ne 0$) любую матрицу привести к диагональному виду нельзя.

Возникает вопрос: как будет выглядеть матрица наиболее простого вида, подобная данной матрице?
Контрпример из лекции
Попробуем найти диагональную матрицу, подобную $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$.

Пусть $C = \begin{pmatrix}c_{11} & c_{12}\\ c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}$. Тогда $C^{-1} = \dfrac{1}{\det C}\begin{pmatrix}c_{22} & -c_{12}\\ -c_{21} & c_{11}\end{pmatrix}$, и $$C^{-1}AC = \frac{1}{\det C}\begin{pmatrix}c_{21}c_{22} & c_{22}^2\\ -c_{21}^2 & -c_{21}c_{22}\end{pmatrix}.$$ Полученная матрица должна быть диагональной, откуда $c_{22} = 0$ и $c_{21} = 0$. Но тогда $C$ вырождена и не является матрицей перехода. Значит, $A$ не подобна никакой диагональной матрице.
Теорема (о треугольной матрице ЛО)
Матрица любого линейного оператора подобна некоторой матрице треугольного вида (над алгебраически замкнутым полем, в частности над $\mathbb{C}$).
36 Линейный оператор простой структуры
Определение
ЛО $\mathcal{A}\colon V \to V$ — оператор простой структуры, если в пространстве $V$ существует базис из собственных векторов оператора $\mathcal{A}$.
Теорема
ЛО $\mathcal{A}\colon V \to V$ имеет простую структуру $\Leftrightarrow$ в пространстве $V$ существует базис, в котором он имеет диагональную матрицу.
Таким образом, ЛО простой структуры = диагонализируемый ЛО.
Следствие
В $n$-мерном пространстве ЛО, имеющий $n$ различных собственных значений, является оператором простой структуры.
Простой пример
Матрица $A = \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}$ уже диагональна — оператор простой структуры.

Матрица $A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$: $\chi_A(t) = (t-1)^2$, единственное собственное значение $\lambda = 1$, $\operatorname{Ker}(A-E)$ — одномерное. Нет базиса из собственных векторов — НЕ простой структуры.
37 Верхняя клетка Жордана. Жорданова матрица. Жорданов базис (определения, примеры)
Определение
Верхняя клетка Жордана порядка $m$, соответствующая собственному значению $\lambda$ — матрица $$J_m(\lambda) = \begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda\end{pmatrix}.$$ То есть $\lambda$ на главной диагонали, $1$ над ней, $0$ во всех остальных позициях.
Жорданова матрица
Жорданова матрица (матрица, имеющая жорданову нормальную форму) — матрица, состоящая из клеток Жордана на диагонали и нулей вне этих клеток: $$J = \begin{pmatrix}J_{m_1}(\lambda_1) & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & J_{m_s}(\lambda_s)\end{pmatrix}.$$ Здесь $s$ — количество жордановых клеток, $m_j$ — размер $j$-й клетки, $\lambda_j$ — её собственное значение (значения $\lambda_j$ могут повторяться).
Жорданов базис
Жорданов базис для ЛО $\mathcal{A}$ — такой базис векторного пространства $V$, в котором матрица оператора $\mathcal{A}$ имеет жорданову нормальную форму (ЖНФ).
Пример из лекции
$V = \{e^{\lambda t} f(t) \mid \deg f \le n - 1\}$, $D = \tfrac{d}{dt}$ — оператор дифференцирования. Векторы $e_{j+1} = \tfrac{t^j}{j!} e^{\lambda t}$ ($0 \le j \le n - 1$) образуют базис $V$.
$D e_{j+1} = e_j + \lambda e_{j+1}$. Значит, $\{e_1, \ldots, e_n\}$ — жорданов базис оператора $D$ (одна клетка $J_n(\lambda)$).
Простой пример
Клетки $J_2(3) = \begin{pmatrix}3 & 1\\ 0 & 3\end{pmatrix}$ и $J_1(5) = (5)$.
Жорданова матрица из этих клеток: $J = \begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 5\end{pmatrix}$.
38 Построение циклического подпространства через нильпотентный линейный оператор (с доказательством)
Теорема
Пусть $\mathcal{A}$ — нильпотентный ЛО индекса нильпотентности $m$: $\mu_{\mathcal{A}}(t) = t^m$. Пусть для некоторого вектора $v$ выполнено $\mathcal{A}^{m-1} v \ne 0$. Тогда $\{v, \mathcal{A}v, \ldots, \mathcal{A}^{m-1} v\}$ — линейно независимая система.
Доказательство
Пусть $$\alpha_0 v + \alpha_1 \mathcal{A} v + \ldots + \alpha_{m-1} \mathcal{A}^{m-1} v = 0. \quad (1)$$ Применим к обеим частям (1) оператор $\mathcal{A}^{m-1}$: $$\alpha_0 \mathcal{A}^{m-1} v + \alpha_1 \mathcal{A}^m v + \ldots + \alpha_{m-1} \mathcal{A}^{2m-2} v = 0.$$ Так как $\mathcal{A}^m = 0$, все слагаемые кроме первого обнуляются: $\alpha_0 \mathcal{A}^{m-1} v = 0$. Но $\mathcal{A}^{m-1} v \ne 0$, значит $\alpha_0 = 0$.

Получаем зависимость $\alpha_1 \mathcal{A} v + \ldots + \alpha_{m-1} \mathcal{A}^{m-1} v = 0$. Применяя $\mathcal{A}^{m-2}$, аналогично получаем $\alpha_1 = 0$. По индукции все $\alpha_j = 0$. Значит, система линейно независима. ∎
Циклическое подпространство, порождённое вектором $v$, — линейная оболочка $\langle v, \mathcal{A} v, \ldots, \mathcal{A}^{m-1} v\rangle$. Оно инвариантно относительно $\mathcal{A}$.
39 Вычисление многочленов от жордановых клеток
Если $p(t) \in \mathbb{C}[t]$, то $$p(J_m(\lambda)) = \begin{pmatrix}p(\lambda) & p'(\lambda) & \dfrac{p''(\lambda)}{2!} & \cdots & \dfrac{p^{(m-1)}(\lambda)}{(m-1)!}\\[4pt] 0 & p(\lambda) & p'(\lambda) & \cdots & \dfrac{p^{(m-2)}(\lambda)}{(m-2)!}\\[4pt] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \cdots & p'(\lambda)\\[2pt] 0 & 0 & 0 & \cdots & p(\lambda)\end{pmatrix}.$$
На диагонали стоит $p(\lambda)$, а над диагональю — последовательные производные $p$ в точке $\lambda$, делённые на факториалы. Это аналог формулы Тейлора, только для матриц.
Простой пример
$p(t) = t^2$, $J_3(2) = \begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$.

$p(2) = 4$; $p'(t) = 2t$, $p'(2) = 4$; $p''(t) = 2$, $p''(2)/2! = 1$.

$p(J_3(2)) = \begin{pmatrix}4 & 4 & 1\\ 0 & 4 & 4\\ 0 & 0 & 4\end{pmatrix}$.
40 Теорема о жордановой нормальной форме. Следствие о диагонализируемости
Теорема (о жордановой нормальной форме)
Любая матрица с комплексными коэффициентами приводится к жордановой нормальной форме: $\forall A \in M_n(\mathbb{C})\;\;\exists C$ такая, что $J = C^{-1} A C$ — жорданова матрица. Матрица $J$ единственна с точностью до перестановки клеток.
Следствие
$A \in M_n(\mathbb{C})$ диагонализируема $\Leftrightarrow$ её минимальный многочлен $\mu_A(t)$ не имеет кратных корней.
Если все жордановы клетки размера $1\times 1$, то ЖНФ — диагональная матрица. Это и есть случай простой структуры. Кратные корни минимального многочлена «заставляют» появиться клеткам большего размера.
Простые примеры
$A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$: $\chi_A(t) = (t-2)^2$, $\mu_A(t) = (t-2)^2$ — кратный корень → не диагонализируема. ЖНФ: $J = J_2(2)$.

$A = \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}$: $\mu_A(t) = (t-2)(t-3)$ — нет кратных корней → диагонализируема.
41 Основная теорема алгебры для линейных операторов. Теорема Гамильтона–Кэли. Следствие о минимальном многочлене
Теорема Гамильтона–Кэли
Линейный оператор $\mathcal{A}$ и соответствующая ему в любом базисе матрица $A$ аннулируется своим характеристическим многочленом: $$\chi_A(A) = 0, \qquad \chi_A(t) = \det(A - tE).$$
Нельзя доказать, просто подставив $\lambda = A$ в $\det(A - \lambda E)$! Это была бы тавтология вида $\det(A - AE) = \det(0) = 0$, не имеющая отношения к настоящему утверждению (в исходной формуле $\lambda$ — скаляр, а не матрица).
Минимальный многочлен
Минимальный многочлен $\mu_A(t)$ оператора $\mathcal{A}$ — нормализованный многочлен наименьшей степени, аннулирующий $\mathcal{A}$ ($\mu_A(\mathcal{A}) = 0$).
Следствие (о минимальном многочлене)
Минимальный многочлен ЛО $\mathcal{A}$ $\mu_A(t)$ является делителем характеристического многочлена $\chi_A(t)$, который в свою очередь делится на все линейные множители $t - \lambda$, $\lambda \in \operatorname{Spec}\mathcal{A}$.
Простой пример
$A = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}$. $\chi_A(t) = (t-1)(t-2)$.
Проверка Г–К: $\chi_A(A) = (A - E)(A - 2E) = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\\0&0\end{pmatrix} = 0$. ✓
42 Корневое подпространство: определение, связь с собственным подпространством
Определение
Корневое подпространство, соответствующее собственному значению $\lambda \in \operatorname{Spec}\mathcal{A}$: $$V(\lambda) = \{v \in V \mid \exists k \in \mathbb{N}: (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^k v = 0\}.$$
$V(\lambda)$ — подпространство
Пусть $u, v \in V(\lambda)$: $(\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E})^s u = 0$, $(\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E})^t v = 0$. Возьмём $m = \max(s, t)$, тогда $$(\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E})^m(\alpha u + \beta v) = \alpha(\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E})^m u + \beta(\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E})^m v = 0.$$ Значит, $\alpha u + \beta v \in V(\lambda)$. ∎
Связь с собственным подпространством
Собственное подпространство $V_{\lambda} = \operatorname{Ker}(\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E})$ состоит из всех собственных векторов с собственным значением $\lambda$ (плюс нулевой). Очевидно, $V_{\lambda} \subseteq V(\lambda)$: собственные векторы — частный случай корневых (при $k = 1$).

В $V(\lambda)$ кроме собственных входят все присоединённые векторы — те, что обнуляются только степенью $(\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E})^k$ при $k > 1$.
Простой пример
$A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, $\lambda = 1$.
$V_1 = \operatorname{Ker}(A - E) = \operatorname{Ker}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \{(x, 0)^T\}$ — одномерное.
$(A-E)^2 = 0$, поэтому $V(1) = \mathbb{R}^2$ — двумерное (вектор $(0,1)^T$ присоединённый).
43 Алгоритм нахождения ЖНФ и жорданова базиса через образы степеней оператора $\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E}$ (с примером)
Идея алгоритма
Для каждого собственного значения $\lambda$ находят корневое подпространство $V(\lambda)$. Внутри него рассматривают последовательность подпространств $L_j = \operatorname{Im}(\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E})^j$ (пространства столбцов соответствующих степеней). Жорданов базис строится «снизу вверх»: из самого глубокого слоя $L_{k-1} \cap V_\lambda$ берётся базисный вектор $e_1^{(1)}$, к нему достраивается жорданова цепочка длины $k$ — присоединённые векторы. Затем переходят к цепочкам меньшей длины, пока не получится базис $V(\lambda)$.
Пример из лекции
Для матрицы $A$ с собственным значением $\lambda = 2$ и характеристическим многочленом $(t - 2)^3$. Собственное подпространство $V_2$ задаётся уравнением $$x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 3x_3 - 2x_2.$$ ФСР: $b_1 = (-2, 1, 0)^T$, $b_2 = (3, 0, 1)^T$, $V_2 = \langle b_1, b_2\rangle$.

Пространство столбцов $L_1 = \operatorname{Im}(A - 2E) = \langle c_1\rangle$, $c_1 = (1, 4, 3)^T$. Заметим: $4 b_1 + 3 b_2 = c_1$, значит $c_1 \in V_2$, $L_1 \cap V_2 = L_1$.

$e_1^{(1)} = c_1$ — вектор, с которого начинается жорданова цепочка длины $k = 2$. Присоединённый $e_1^{(2)}$ ищем из $(A - 2E)\,e_1^{(2)} = e_1^{(1)}$: $$y_1 + 2y_2 - 3y_3 = 1.$$ Можно взять $e_1^{(2)} = (2, 1, 1)^T$.

Достраиваем до базиса $V(2)$: ищем $z \in V_2 \setminus L_1$. Подходит $z = (3, 0, 1)^T = e_2^{(1)}$ — цепочка длины $1$.

Записываем найденные векторы $e_1^{(1)}, e_1^{(2)}, e_2^{(1)}$ в столбцы матрицы перехода: $$C = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 1 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{pmatrix}.$$ Тогда $C^{-1} A C = J$ — жорданова матрица с клетками $J_2(2)$ и $J_1(2)$.
44 Жорданова цепочка, присоединённый вектор, циклическое подпространство. Связь алгебраической и геометрической кратности с ЖНФ
Жорданова цепочка
Жорданова цепочка длины $k$ для собственного значения $\lambda$ — набор векторов $\{v_1, v_2, \ldots, v_k\}$, удовлетворяющий: $$(\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E})\, v_1 = 0, \quad (\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E})\, v_2 = v_1, \quad \ldots, \quad (\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E})\, v_k = v_{k-1}.$$ $v_1$ — собственный вектор, а $v_2, \ldots, v_k$ — присоединённые векторы к $v_1$.
Циклическое подпространство
Циклическое подпространство — линейная оболочка $\langle v_1, v_2, \ldots, v_k\rangle$ жордановой цепочки. Оно инвариантно относительно $\mathcal{A}$; в нём матрица $\mathcal{A}$ имеет вид одной жордановой клетки $J_k(\lambda)$.
Кратности и структура ЖНФ
Для собственного значения $\lambda$:
  • Алгебраическая кратность $\lambda$ = кратность $\lambda$ как корня $\chi_A(t)$ = суммарный размер всех жордановых клеток для $\lambda$;
  • Геометрическая кратность $\lambda$ = $\dim V_\lambda$ = $\dim\operatorname{Ker}(\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E})$ = количество жордановых клеток для $\lambda$;
  • Размер наибольшей клетки для $\lambda$ = кратность $\lambda$ как корня минимального многочлена $\mu_A(t)$.
Простой пример
Если у $A$ собственное значение $\lambda = 2$ имеет алгебраическую кратность $3$ и геометрическую кратность $2$, то для $\lambda$ в ЖНФ будет $2$ клетки суммарного размера $3$. Возможен только один вариант: одна клетка $J_2(2)$ и одна $J_1(2)$.
45 Алгоритм нахождения ЖНФ и жорданова базиса через формулу для рангов и матричное уравнение
Алгоритм
1. Найти собственные значения $\lambda_i$ из $\det(A - \lambda E) = 0$.
2. Для каждого $\lambda_i$ определить количество жордановых клеток размера $m \times m$ по формуле: $$N_m(\lambda_i) = \operatorname{rank}(A - \lambda_i E)^{m+1} - 2\operatorname{rank}(A - \lambda_i E)^m + \operatorname{rank}(A - \lambda_i E)^{m-1}.$$
3. Построить соответствующую ЖНФ $J$.
4. Для нахождения матрицы перехода $T$ решить матричное уравнение $T J = A T$.
Идея формулы для рангов: $\dim\operatorname{Ker}(A - \lambda E)^m$ — общее число векторов в цепочках длины не больше $m$. Разность $\dim\operatorname{Ker}(A - \lambda E)^{m+1} - \dim\operatorname{Ker}(A - \lambda E)^m$ — число цепочек длины $\ge m+1$. Формула получается из чередующейся разности этих величин.
46 $\lambda$-матрица. Элементарные преобразования. Канонический вид. Инвариантные множители. Теорема о последнем инвариантном множителе
Определение
$\lambda$-матрица — квадратная матрица с элементами из $\mathbb{C}[\lambda]$ или $\mathbb{R}[\lambda]$ (элементы — многочлены от $\lambda$).
Элементарные преобразования $\lambda$-матриц
1) умножение какой-либо строки на число $\alpha \ne 0$;
2) умножение какого-либо столбца на число $\alpha \ne 0$;
3) прибавление к $i$-й строке $j$-й строки, умноженной на некоторый многочлен $p(\lambda)$;
4) прибавление к $i$-му столбцу $j$-го столбца, умноженного на некоторый многочлен $p(\lambda)$.
Канонический вид $\lambda$-матрицы
Диагональная матрица $$\begin{pmatrix}e_1(\lambda) & 0 & \cdots & 0\\ 0 & e_2(\lambda) & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & e_n(\lambda)\end{pmatrix},$$ в которой:
1) получена из исходной $\lambda$-матрицы с помощью ЭП;
2) каждый многочлен $e_j(\lambda)$ делится на $e_{j-1}(\lambda)$;
3) все многочлены $e_j(\lambda)$ нормализованы.

Многочлены $e_j(\lambda)$ называются инвариантными множителями матрицы $A(\lambda)$.
Теорема (о последнем инвариантном множителе)
Последний инвариантный множитель $e_n(\lambda)$ матрицы $A(\lambda)$ совпадает с минимальным многочленом матрицы $A$, для которой $A(\lambda) = A - \lambda E$.
47 Алгоритм нахождения ЖНФ через НОД многочленов (с примером)
Алгоритм
1. По заданной матрице $A$ выписать $\lambda$-матрицу $A - \lambda E$ и для каждого $j$ от $1$ до $n$ найти нормализованный НОД $d_j(\lambda)$ всех миноров матрицы $A - \lambda E$ $j$-го порядка.
2. Вычислить инвариантные множители $e_j(\lambda) = d_j(\lambda) / d_{j-1}(\lambda)$, где $d_0(\lambda) = 1$.
3. Разложить каждый из инвариантных множителей $e_j(\lambda)$ на элементарные делители вида $(\lambda - \lambda_i)^{n_{ji}}$.
4. Каждому элементарному делителю $(\lambda - \lambda_i)^{n_{ji}}$ соответствует жорданова клетка $J_{n_{ji}}(\lambda_i)$. Из этих клеток составить ЖНФ.
Пример из лекции
Рассмотрим матрицу $A = \begin{pmatrix}3 & 2 & -3\\ 4 & 10 & -12\\ 3 & 6 & -7\end{pmatrix}$.

$A - \lambda E = \begin{pmatrix}3-\lambda & 2 & -3\\ 4 & 10-\lambda & -12\\ 3 & 6 & -7-\lambda\end{pmatrix}$.

$d_1(\lambda) = 1$ (НОД всех элементов матрицы — константа, нормализуем до $1$).
$d_2(\lambda) = \lambda - 2$ (нормализованный НОД миноров $2$-го порядка).
$d_3(\lambda) = \det(A - \lambda E) = (\lambda - 2)^3$ (с точностью до знака; нормализуем).

Инвариантные множители: $e_1 = 1$, $e_2 = (\lambda - 2)/1 = \lambda - 2$, $e_3 = (\lambda - 2)^3 / (\lambda - 2) = (\lambda - 2)^2$.

Элементарные делители: $\lambda - 2$ и $(\lambda - 2)^2$. Им соответствуют клетки $J_1(2)$ и $J_2(2)$.

$$J = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.$$
48 Алгоритм нахождения ЖНФ через элементарные преобразования $\lambda$-матриц (с примером)
Алгоритм
1. Выписать $\lambda$-матрицу $A - \lambda E$.
2. С помощью элементарных преобразований привести её к каноническому виду $$\operatorname{diag}(1, \ldots, 1, e_{k+1}(\lambda), \ldots, e_n(\lambda)),$$ где $e_{k+1}(\lambda), \ldots, e_n(\lambda)$ — инвариантные множители (отличные от $1$).
3. Разложить каждый из инвариантных множителей на элементарные делители.
4. По элементарным делителям построить жордановы клетки и собрать ЖНФ.
Пример из лекции
Та же матрица $A = \begin{pmatrix}3 & 2 & -3\\ 4 & 10 & -12\\ 3 & 6 & -7\end{pmatrix}$.

$A - \lambda E = \begin{pmatrix}3-\lambda & 2 & -3\\ 4 & 10-\lambda & -12\\ 3 & 6 & -7-\lambda\end{pmatrix}$.

После последовательности элементарных преобразований (перестановки, прибавления строк/столбцов с многочленными коэффициентами) приводим её к виду $$\operatorname{diag}(1,\; \lambda - 2,\; (\lambda - 2)^2).$$ Элементарные делители: $\lambda - 2$ и $(\lambda - 2)^2$. ЖНФ: $$J = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.$$
49 Сопряжённый оператор. Свойства сопряжённого оператора
Определение
Пусть $V$ — евклидово (или унитарное) пространство, $\mathcal{A}\colon V \to V$ — линейный оператор. Сопряжённый оператор $\mathcal{A}^*$ определяется условием $$\langle \mathcal{A} x, y\rangle \;=\; \langle x, \mathcal{A}^* y\rangle \qquad \forall x, y \in V.$$
В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора получается из матрицы $\mathcal{A}$ транспонированием (над $\mathbb{R}$) или эрмитовым сопряжением — транспонированием и комплексным сопряжением (над $\mathbb{C}$): $$A^* = A^T \;(\mathbb{R}), \qquad A^* = \overline{A^T} \;(\mathbb{C}).$$
Свойства
  • $(\mathcal{A} + \mathcal{B})^* = \mathcal{A}^* + \mathcal{B}^*$;
  • $(\alpha\mathcal{A})^* = \bar\alpha\,\mathcal{A}^*$ (над $\mathbb{C}$); $(\alpha\mathcal{A})^* = \alpha\mathcal{A}^*$ (над $\mathbb{R}$);
  • $(\mathcal{A}\mathcal{B})^* = \mathcal{B}^*\mathcal{A}^*$ (порядок меняется!);
  • $(\mathcal{A}^*)^* = \mathcal{A}$;
  • $(\mathcal{A}^{-1})^* = (\mathcal{A}^*)^{-1}$, если $\mathcal{A}$ обратим.
50 Ортогональная матрица (эквивалентные определения)
Эквивалентные определения
Квадратная матрица $Q$ называется ортогональной, если выполняется любое из следующих равносильных условий:
  1. $Q^T Q = E$ (и $Q Q^T = E$);
  2. $Q^{-1} = Q^T$ (обратная равна транспонированной);
  3. столбцы $Q$ образуют ортонормированную систему;
  4. строки $Q$ образуют ортонормированную систему;
  5. $Q$ есть матрица перехода между ортонормированными базисами.
Следствие: $\det Q = \pm 1$. При $\det Q = 1$ матрица называется собственно ортогональной (поворот); при $\det Q = -1$ — несобственно ортогональной (поворот с отражением).
Простые примеры
Матрица поворота на угол $\varphi$: $$Q = \begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi\\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}, \quad \det Q = \cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1.$$ Проверка: $Q^T Q = \begin{pmatrix}\cos\varphi & \sin\varphi\\ -\sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi\\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$. ✓

Матрица отражения: $\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$, $\det = -1$.
51 Ортогональный линейный оператор. Изометрический оператор
Определения
Ортогональный линейный оператор — линейный оператор, матрица которого в некотором (а тогда и в любом) ортонормированном базисе является ортогональной матрицей.
Изометрический оператор — линейный оператор $\mathcal{A}\colon V \to V$, сохраняющий скалярное произведение: $$\langle \mathcal{A} x,\, \mathcal{A} y\rangle \;=\; \langle x, y\rangle \quad \forall x, y \in V.$$
Изометрический оператор сохраняет скалярное произведение, а значит — длины векторов и углы между ними. Это в точности соответствует геометрической идее «жёсткого движения через начало координат».
52 Теорема об эквивалентных определениях ортогонального линейного оператора
Теорема
Пусть $V$ — евклидово векторное пространство, $\dim V = n$, $\mathcal{A}\colon V \to V$ — линейный оператор. Равносильны следующие свойства:
  1. $\mathcal{A}$ — ортогональный (матрица в ОНБ ортогональна);
  2. $\mathcal{A}^* = \mathcal{A}^{-1}$ (сопряжённый совпадает с обратным);
  3. $\langle \mathcal{A} x, \mathcal{A} y\rangle = \langle x, y\rangle$ для всех $x, y \in V$ (изометрия);
  4. $|\mathcal{A} x| = |x|$ для всех $x \in V$ (сохранение длин);
  5. $\mathcal{A}$ переводит некоторый (а тогда и любой) ортонормированный базис в ортонормированный базис.
Из (4) — сохранения длин — автоматически следует (3) — сохранение скалярного произведения. Это благодаря тождеству поляризации: $\langle x, y\rangle = \tfrac{1}{4}(|x+y|^2 - |x-y|^2)$.
53 Свойства ортогонального линейного оператора
  • $\det \mathcal{A} = \pm 1$. При $\det = 1$ — собственное вращение, при $\det = -1$ — несобственное (с отражением);
  • все собственные значения $\mathcal{A}$ имеют модуль $1$; над $\mathbb{R}$ это означает $\lambda \in \{+1, -1\}$;
  • композиция ортогональных операторов — ортогональный оператор;
  • оператор, обратный к ортогональному, — ортогональный;
  • множество всех ортогональных операторов на $V$ образует группу — ортогональную группу $O(V)$.
54 Теорема о каноническом представлении матрицы ортогонального линейного оператора
Теорема
В $V$ — евклидовом пространстве — для любого ортогонального ЛО $\mathcal{A}$ существует ортонормированный базис, в котором матрица $\mathcal{A}$ имеет блочно-диагональный вид $$\operatorname{diag}\bigl(\underbrace{1, \ldots, 1}_{p},\; \underbrace{-1, \ldots, -1}_{q},\; R(\varphi_1),\; \ldots,\; R(\varphi_k)\bigr),$$ где блоки $R(\varphi) = \begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi\\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}$ — матрицы поворотов в инвариантных двумерных плоскостях, $\varphi_j \ne 0, \pi$.
Смысл: любое ортогональное преобразование разлагается на «независимые» части — повороты в попарно ортогональных плоскостях, отражения по «минус-осям» и тождественные действия на «плюс-осях».
55 Теорема о геометрическом представлении ортогонального линейного оператора
Теорема
Любой ортогональный линейный оператор в $\mathbb{R}^n$ является композицией:
  • поворотов в попарно ортогональных двумерных плоскостях;
  • отражений относительно гиперплоскостей.
Простые примеры
В $\mathbb{R}^2$: ортогональный оператор — либо поворот на угол $\varphi$ ($\det = 1$), либо отражение относительно прямой ($\det = -1$).

В $\mathbb{R}^3$: либо поворот вокруг некоторой оси ($\det = 1$), либо композиция поворота вокруг оси с отражением относительно перпендикулярной этой оси плоскости ($\det = -1$).
56 Симметрический линейный оператор. Спектральная теорема для симметрического линейного оператора
Определение
Линейный оператор $\mathcal{A}\colon V \to V$ называется симметрическим (самосопряжённым), если $\mathcal{A}^* = \mathcal{A}$, то есть $$\langle \mathcal{A} x, y\rangle \;=\; \langle x, \mathcal{A} y\rangle \quad \forall x, y \in V.$$ Эквивалентно: матрица $\mathcal{A}$ в ОНБ симметрическая, $A^T = A$.
Спектральная теорема для симметрического ЛО
Пусть $\mathcal{A}$ — симметрический линейный оператор в евклидовом пространстве $V$. Тогда:
  1. все собственные значения $\mathcal{A}$ — вещественные числа;
  2. собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны друг другу;
  3. в $V$ существует ортонормированный базис из собственных векторов $\mathcal{A}$;
  4. в этом базисе матрица $\mathcal{A}$ диагональна: $\operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$.
Следствие
Любой симметрический оператор — оператор простой структуры (диагонализируем). Более того, базис диагонализации можно выбрать ортонормированным, то есть симметрическая матрица приводится к диагональной виду ортогональным преобразованием: $\;A = Q\,\Lambda\, Q^T$, где $Q$ — ортогональная.
Простой пример
$A = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ — симметрическая.
$\chi_A(t) = (1-t)^2 - 4 = t^2 - 2t - 3 = (t-3)(t+1)$. Собственные значения $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = -1$ — вещественные.

Собственные векторы: $\lambda_1 = 3$: $v_1 = (1, 1)^T$; $\lambda_2 = -1$: $v_2 = (1, -1)^T$.
Проверка ортогональности: $\langle v_1, v_2\rangle = 1\cdot 1 + 1\cdot(-1) = 0$. ✓

Нормируя, получаем ортонормированный базис $\;\tfrac{1}{\sqrt 2}(1, 1)^T,\; \tfrac{1}{\sqrt 2}(1, -1)^T$. В нём $A = \operatorname{diag}(3, -1)$.
Тема V · Глава XIII

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

57 Линейное аффинное многообразие. Вектор сдвига. Направляющее подпространство. Прямая и гиперплоскость
Определение
Пусть $V$ — векторное пространство, $L \subseteq V$ — подпространство, $x_0 \in V$. Множество $$H \;=\; x_0 + L \;=\; \{x_0 + x \mid x \in L\}$$ называется линейным (аффинным) многообразием.

$x_0$ — вектор сдвига; $L$ — направляющее подпространство (определено однозначно).
Размерность
Размерность ЛМ: $\dim H = \dim L$.
  • Прямая — ЛМ размерности $1$;
  • Гиперплоскость — ЛМ размерности $n - 1$ (где $\dim V = n$).
Простой пример
В $\mathbb{R}^3$ возьмём $x_0 = (1, 0, 0)$ и $L = \{(0, t, 0) : t \in \mathbb{R}\}$ — ось $Oy$.
Тогда $H = x_0 + L = \{(1, t, 0) : t \in \mathbb{R}\}$ — прямая, параллельная оси $Oy$, проходящая через точку $(1, 0, 0)$.
58 Свойства линейных многообразий
Пусть $H = x_0 + L$ — линейное многообразие.
  1. $x_0 \in H$ (вектор сдвига всегда лежит в самом ЛМ);
  2. $\forall u, v \in H:\; u - v \in L$ (разность любых двух векторов ЛМ лежит в направляющем подпространстве);
  3. $H_1 = x_1 + L_1$ и $H_2 = x_2 + L_2$ совпадают $\Leftrightarrow$ $L_1 = L_2 = L$ и $x_1 - x_2 \in L$;
  4. в качестве вектора сдвига можно взять любой вектор из $H$;
  5. направляющее подпространство $L$ для ЛМ определено однозначно.
59 Линейные многообразия в евклидовом векторном пространстве
Нормальный вектор
Пусть $V$ — евклидово пространство, $H = x_0 + L$ — ЛМ. Нормальный вектор ЛМ $H$ — такой вектор $a \in H$, что $a \perp L$ (ортогонален всему направляющему подпространству).
Свойства:
  1. нормальный вектор существует для любого ЛМ в евклидовом пространстве;
  2. нормальный вектор — ортогональная проекция любого $v \in H$ на $L^\perp$;
  3. нормальный вектор имеет наименьшую длину среди всех векторов из $H$.
Гиперплоскость в ЕВП
Если $\dim V = n$, $H$ — гиперплоскость, $\dim L = n - 1$, то $\dim L^\perp = 1$. Берём $N \in L^\perp$, $N \ne 0$. Тогда уравнение гиперплоскости: $$x \in H \;\Leftrightarrow\; \langle x - x_0,\, N\rangle = 0 \;\Leftrightarrow\; \langle x, N\rangle = \langle x_0, N\rangle.$$
60 Теорема о делении отрезка в данном отношении
Теорема
Пусть точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ — концы отрезка, точка $M(x_3, y_3, z_3)$ делит отрезок $AB$ в отношении $\lambda$ (то есть $\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{MB}$, или $|AM|/|MB| = \lambda$, $\lambda \ne -1$). Тогда координаты $M$ вычисляются по формулам: $$x_3 = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \qquad y_3 = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}, \qquad z_3 = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda}.$$
В частности, при $\lambda = 1$ точка $M$ — середина отрезка $AB$: $$M = \left(\tfrac{x_1+x_2}{2},\; \tfrac{y_1+y_2}{2},\; \tfrac{z_1+z_2}{2}\right).$$
Простой пример
$A(0,0,0)$, $B(3,6,9)$. Точка $M$, делящая $AB$ в отношении $\lambda = 1/2$: $$M = \left(\frac{0 + \tfrac{1}{2}\cdot 3}{1 + \tfrac{1}{2}},\; \frac{0 + \tfrac{1}{2}\cdot 6}{3/2},\; \frac{0 + \tfrac{1}{2}\cdot 9}{3/2}\right) = (1, 2, 3).$$ Проверка: $|AM| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$, $|MB| = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$, $|AM|/|MB| = 1/2$. ✓
61 Ориентация базисов пространства
Два базиса $\{e_1, \ldots, e_n\}$ и $\{e_1', \ldots, e_n'\}$ векторного пространства называются одинаково ориентированными, если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому положителен, и противоположно ориентированными, если этот определитель отрицателен.
Правая и левая тройка
В $\mathbb{R}^3$ упорядоченная тройка некомпланарных векторов $\{a, b, c\}$ называется правой, если, глядя с конца вектора $c$, кратчайший поворот от $a$ к $b$ виден против часовой стрелки; в противном случае — левая.

Стандартный базис $\{i, j, k\}$ — правая тройка. Аналитический критерий: тройка $\{a, b, c\}$ правая $\Leftrightarrow$ $\det\,[a\,|\,b\,|\,c] > 0$.
62 Векторное произведение: определение, свойства, геометрический смысл, вычисление
Определение
Векторным произведением двух векторов $a$ и $b$ в $\mathbb{R}^3$ называется вектор $c = a \times b$, удовлетворяющий условиям:
  1. $|c| = |a|\cdot|b|\cdot\sin\widehat{(a, b)}$;
  2. $c \perp a$ и $c \perp b$;
  3. тройка $\{a, b, c\}$ — правая.
Если $a$ и $b$ коллинеарны, то $a \times b = 0$.
Геометрический смысл
$|a \times b|$ — площадь параллелограмма, построенного на векторах $a$ и $b$.
Вычисление
Если $a = (a_1, a_2, a_3)$, $b = (b_1, b_2, b_3)$ в правом ортонормированном базисе, то $$a \times b \;=\; \begin{vmatrix}i & j & k\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix} \;=\; (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1).$$
Свойства
  • $a \times b = -\,b \times a$ (антикоммутативность);
  • $(\alpha a + \beta b) \times c = \alpha (a \times c) + \beta (b \times c)$ (линейность);
  • $a \parallel b \Leftrightarrow a \times b = 0$;
  • $a \times a = 0$.
Простой пример
$a = (1, 0, 0)$, $b = (0, 1, 0)$: $a \times b = \begin{vmatrix}i&j&k\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix} = (0\cdot 0 - 0\cdot 1,\; 0\cdot 0 - 1\cdot 0,\; 1\cdot 1 - 0\cdot 0) = (0, 0, 1) = k$.
Площадь параллелограмма (единичного квадрата) равна $1$. ✓
63 Смешанное произведение: определение, свойства, геометрический смысл, вычисление
Определение
Смешанным произведением трёх векторов $a$, $b$, $c$ называется число $$(a, b, c) \;=\; (a \times b) \cdot c.$$
Вычисление
В правом ортонормированном базисе $$(a, b, c) \;=\; \begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix}.$$
Геометрический смысл
$|(a, b, c)|$ равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах $a$, $b$, $c$. Знак $(a, b, c)$ положителен, если $\{a, b, c\}$ — правая тройка, и отрицателен в противоположном случае.
Свойства
  • $a$, $b$, $c$ компланарны $\Leftrightarrow$ $(a, b, c) = 0$;
  • $(a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = -(b, a, c) = -(c, b, a) = -(a, c, b)$ (циклическая перестановка не меняет знак, перестановка соседних меняет);
  • $(a, b, c) = a \cdot (b \times c)$ (можно «переставить» скобки).
Простой пример
$a = (1,0,0)$, $b = (0,1,0)$, $c = (0,0,1)$. Тогда $(a, b, c) = \det E = 1$ — объём единичного куба. ✓
64 Преобразования аффинной системы координат в пространстве
Пусть $Oe_1 e_2 e_3$ и $O' e_1' e_2' e_3'$ — две аффинные системы координат. Пусть $C = (c_{ij})$ — матрица перехода от базиса $\{e_i\}$ к базису $\{e_j'\}$: $e_j' = \sum_{i=1}^{3} c_{ij} e_i$. Пусть $O'$ имеет в старой СК координаты $(\alpha, \beta, \gamma)$. Тогда координаты точки $M(x, y, z)$ в старой СК и $(x', y', z')$ в новой связаны: $$\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix} + C\begin{pmatrix}x'\\ y'\\ z'\end{pmatrix}.$$ Обратное преобразование: $\begin{pmatrix}x'\\ y'\\ z'\end{pmatrix} = C^{-1}\left[\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}\right]$.
65 Преобразования декартовой прямоугольной системы координат на плоскости
Пусть $Oe_1 e_2$ и $O' e_1' e_2'$ — две декартовы прямоугольные системы координат на плоскости, причём $O'$ имеет в старой СК координаты $(\alpha, \beta)$, а $\{e_1', e_2'\}$ получается из $\{e_1, e_2\}$ поворотом на угол $\varphi$.
Матрица перехода — ортогональная: $C = \begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi\\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}$ (собственно ортогональная, $\det = 1$) либо $C = \begin{pmatrix}\cos\varphi & \sin\varphi\\ \sin\varphi & -\cos\varphi\end{pmatrix}$ (несобственно ортогональная, $\det = -1$, поворот с отражением).

Преобразование координат для собственного поворота: $$\begin{cases}x = \alpha + x'\cos\varphi - y'\sin\varphi,\\ y = \beta + x'\sin\varphi + y'\cos\varphi.\end{cases}$$
66 Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой на плоскости. Уравнение прямой через две точки
Направляющий вектор прямой — любой ненулевой вектор $a$, коллинеарный данной прямой.
Канонические уравнения
Прямая на плоскости задана точкой $M_0(x_0, y_0)$ и направляющим вектором $a = (m, n)$: $$\frac{x - x_0}{m} \;=\; \frac{y - y_0}{n}.$$ (Если один из знаменателей равен $0$, соответствующий числитель тоже считают равным $0$.)
Уравнение прямой через две точки
Прямая через $M_0(x_0, y_0)$ и $M_1(x_1, y_1)$: $$\begin{vmatrix}x - x_0 & y - y_0\\ x_1 - x_0 & y_1 - y_0\end{vmatrix} = 0, \quad \text{или} \quad \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} = \frac{y - y_0}{y_1 - y_0}.$$
Простой пример
Прямая через $M_0(1, 2)$ с направляющим вектором $a = (3, 4)$: $$\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{4} \;\Rightarrow\; 4(x - 1) = 3(y - 2) \;\Rightarrow\; 4x - 3y + 2 = 0.$$
67 Направляющие векторы плоскости. Каноническое уравнение плоскости. Уравнение через три точки
Направляющие векторы плоскости — два неколлинеарных вектора $p_1 = (l_1, m_1, n_1)$ и $p_2 = (l_2, m_2, n_2)$, параллельных данной плоскости.
Каноническое уравнение плоскости
Плоскость через $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с направляющими $p_1, p_2$: $$\begin{vmatrix}x - x_0 & y - y_0 & z - z_0\\ l_1 & m_1 & n_1\\ l_2 & m_2 & n_2\end{vmatrix} = 0.$$
Уравнение через три точки
Плоскость через $M_0(x_0, y_0, z_0)$, $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ (не на одной прямой): $$\begin{vmatrix}x - x_0 & y - y_0 & z - z_0\\ x_1 - x_0 & y_1 - y_0 & z_1 - z_0\\ x_2 - x_0 & y_2 - y_0 & z_2 - z_0\end{vmatrix} = 0.$$
68 Параметрические уравнения прямой на плоскости. Параметрические уравнения плоскости в пространстве
Прямая на плоскости
Через $M_0(x_0, y_0)$ с направляющим $a = (m, n)$: $$r = r_0 + t\, a, \quad \text{то есть}\quad \begin{cases}x = x_0 + tm,\\ y = y_0 + tn,\end{cases} \quad t \in \mathbb{R}.$$
Плоскость в пространстве
Через $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с направляющими $p_1 = (l_1, m_1, n_1)$ и $p_2 = (l_2, m_2, n_2)$: $$r = r_0 + u\, p_1 + v\, p_2, \quad \text{то есть}\quad \begin{cases}x = x_0 + u l_1 + v l_2,\\ y = y_0 + u m_1 + v m_2,\\ z = z_0 + u n_1 + v n_2,\end{cases} \quad u, v \in \mathbb{R}.$$
69 Общее уравнение прямой на плоскости. Нормаль к прямой. Уравнение прямой в отрезках
Общее уравнение
Любая прямая на плоскости задаётся уравнением $$Ax + By + C = 0, \qquad A^2 + B^2 > 0.$$ Вектор $N = (A, B)$ — нормаль к прямой (перпендикулярен ей).
Уравнение в отрезках
Если прямая отсекает на осях отрезки $a$ и $b$ (то есть проходит через $(a, 0)$ и $(0, b)$): $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1.$$
Простой пример
Прямая $3x + 4y - 12 = 0$. Нормаль $N = (3, 4)$.
Уравнение в отрезках: $\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 1$ ($a = 4$, $b = 3$).
Прямая проходит через точки $(4, 0)$ и $(0, 3)$.
70 Общее уравнение плоскости в пространстве. Нормаль к плоскости. Уравнение плоскости в отрезках
Общее уравнение
Любая плоскость в пространстве задаётся уравнением $$Ax + By + Cz + D = 0, \qquad A^2 + B^2 + C^2 > 0.$$ Вектор $N = (A, B, C)$ — нормаль к плоскости.
Уравнение в отрезках
Если плоскость отсекает на осях отрезки $a, b, c$: $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.$$
71 Задание прямой и плоскости векторными уравнениями
Прямая в пространстве
Через точку с радиус-вектором $r_0$ и направляющим $a$: $$(r - r_0) \times a = 0,$$ что эквивалентно условию $r - r_0 \parallel a$.
Плоскость
Через точку $r_0$ с нормалью $N$: $$\langle r - r_0,\, N\rangle = 0 \;\Leftrightarrow\; \langle r, N\rangle = \langle r_0, N\rangle.$$ Через точку $r_0$ с двумя направляющими $p_1, p_2$: $$\bigl((r - r_0) \times p_1\bigr) \cdot p_2 = 0 \;\Leftrightarrow\; (r - r_0,\, p_1,\, p_2) = 0.$$
72 Теорема о взаимном расположении прямых на плоскости. Теорема о взаимном расположении плоскостей в пространстве
Прямые на плоскости
Прямые $l_1\colon A_1 x + B_1 y + C_1 = 0$ и $l_2\colon A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$:
  • совпадают: $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2}$;
  • параллельны (но не совпадают): $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} \ne \dfrac{C_1}{C_2}$;
  • пересекаются: $\dfrac{A_1}{A_2} \ne \dfrac{B_1}{B_2}$.
Плоскости в пространстве
Плоскости $\pi_1\colon A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ и $\pi_2\colon A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$:
  • совпадают: $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{D_1}{D_2}$;
  • параллельны: $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2} \ne \dfrac{D_1}{D_2}$;
  • пересекаются по прямой: коэффициенты при переменных не пропорциональны.
73 Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, угол между прямыми
Расстояние от точки до прямой на плоскости
От $M_0(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$: $$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$$
Расстояние от точки до плоскости
От $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$
Угол между прямыми
Если $a_1$, $a_2$ — направляющие векторы прямых $l_1$, $l_2$: $$\cos\alpha = \frac{|\langle a_1, a_2\rangle|}{|a_1|\cdot|a_2|}.$$
Простой пример
Расстояние от $(0, 0, 0)$ до плоскости $2x - y + 2z - 6 = 0$: $$d = \frac{|0 - 0 + 0 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{6}{3} = 2.$$
74 Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве
Прямая в пространстве через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с направляющим вектором $a = (l, m, n)$.

Параметрические уравнения: $$\begin{cases}x = x_0 + t l,\\ y = y_0 + t m,\\ z = z_0 + t n,\end{cases} \quad t \in \mathbb{R}.$$ Канонические уравнения: $$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}.$$
75 Теорема о взаимном расположении двух прямых в пространстве
Теорема
Пусть $l_1$ проходит через $M_1$ с направляющим $a_1$, $l_2$ — через $M_2$ с направляющим $a_2$.
  • Совпадают: $a_1 \parallel a_2$ и $M_1 \in l_2$;
  • Параллельны (различные): $a_1 \parallel a_2$ и $M_1 \notin l_2$;
  • Пересекаются: $a_1 \nparallel a_2$ и $(\overrightarrow{M_1 M_2},\, a_1,\, a_2) = 0$ (компланарны);
  • Скрещиваются: $(\overrightarrow{M_1 M_2},\, a_1,\, a_2) \ne 0$ (не компланарны).
Расстояние между скрещивающимися прямыми
$$d = \frac{\bigl|(\overrightarrow{M_1 M_2},\, a_1,\, a_2)\bigr|}{|a_1 \times a_2|}.$$
76 Применение векторной алгебры для решения задач: расстояние от точки до прямой, расстояние между прямыми
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Пусть прямая $l$ проходит через $M_0$ с направляющим $a$, $M$ — данная точка. Тогда $$d(M, l) = \frac{|\overrightarrow{M_0 M} \times a|}{|a|}.$$ Идея: $|\overrightarrow{M_0 M} \times a|$ — площадь параллелограмма, $|a|$ — длина основания, значит частное — высота, то есть расстояние от $M$ до прямой.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
$$d(l_1, l_2) = \frac{\bigl|(\overrightarrow{M_1 M_2},\, a_1,\, a_2)\bigr|}{|a_1 \times a_2|}.$$ Идея: числитель — объём параллелепипеда на векторах $\overrightarrow{M_1 M_2}, a_1, a_2$; знаменатель — площадь основания параллелограмма на $a_1, a_2$; частное — высота (общий перпендикуляр).
Простой пример
Расстояние от $M(0, 0, 0)$ до прямой через $M_0(1, 1, 1)$ с направляющим $a = (1, 0, 0)$:
$\overrightarrow{M_0 M} = (-1, -1, -1)$.
$\overrightarrow{M_0 M} \times a = \begin{vmatrix}i & j & k\\ -1 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 0\end{vmatrix} = (0,\; -1,\; 1)$.
$d = \dfrac{|(0, -1, 1)|}{|(1, 0, 0)|} = \dfrac{\sqrt 2}{1} = \sqrt 2$.
Тема VI · Лекции 25–26

Кривые и поверхности второго порядка

77 Основные подходы к построению кривых второго порядка
Существует несколько эквивалентных подходов к определению кривых второго порядка (КВП):
  1. Алгебраический. КВП — множество точек $M(x,y)$ плоскости, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени: $$a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0.$$
  2. Конические сечения. КВП — линия пересечения плоскости с конусом (в зависимости от наклона плоскости получаются эллипс, гипербола, парабола).
  3. Через метрические свойства (фокусно-директрисное). Множество точек, удовлетворяющих определённому соотношению расстояний до фокусов и/или до директрис.
  4. Кинематический. Траектории материальных точек, движущихся по специальным законам.
  5. Оптический. КВП определяются законами отражения (см. оптические свойства).
78 Эллипс. Фокусы, фокусное расстояние, фокальные радиусы, эксцентриситет эллипса, директрисы эллипса
Определение
Эллипсом называется геометрическое место точек $M$ плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек $F_1$ и $F_2$ плоскости есть постоянное число, большее, чем расстояние между $F_1$ и $F_2$.
Это число обозначим через $2a$. Точки $F_1, F_2$ называются фокусами эллипса, расстояние между ними — фокусным расстоянием и обозначается $2c$. Числа $r_1 = \rho(M, F_1)$ и $r_2 = \rho(M, F_2)$ называются фокальными радиусами точки $M$.

Точка $M$ — точка эллипса $\Leftrightarrow$ $r_1 + r_2 = 2a$, $a > c$.
Эксцентриситет и директрисы
Канонические координаты: ось $Ox$ — прямая $F_1 F_2$ (от $F_1$ к $F_2$), $O$ — середина $F_1 F_2$. Тогда $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$, $b = \sqrt{a^2 - c^2}$.

  • Эксцентриситет эллипса: $\varepsilon = \dfrac{c}{a}$, $\;0 \le \varepsilon < 1$;
  • Директрисы: $x = \pm\dfrac{a}{\varepsilon} = \pm\dfrac{a^2}{c}$ (две прямые, перпендикулярные большой оси);
  • Фокальные радиусы выражаются через координаты: $r_1 = a + \varepsilon x$, $r_2 = a - \varepsilon x$.
Простой пример
Эллипс $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$: $a = 5$, $b = 4$, $c = \sqrt{25 - 16} = 3$.
Фокусы: $F_1(-3, 0)$, $F_2(3, 0)$. Фокусное расстояние $2c = 6$.
Эксцентриситет: $\varepsilon = 3/5 = 0{,}6$. Директрисы: $x = \pm 25/3$.
79 Каноническое уравнение эллипса (с выводом)
Теорема
Уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a \ge b > 0,$$ где $b^2 = a^2 - c^2$.
Вывод
Пусть $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$, точка $M(x, y)$ принадлежит эллипсу. Тогда $$r_1 = \sqrt{(x+c)^2 + y^2}, \qquad r_2 = \sqrt{(x-c)^2 + y^2},$$ и по определению $r_1 + r_2 = 2a$. Отсюда $r_1 = 2a - r_2$. Возведём в квадрат: $$(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a r_2 + (x-c)^2 + y^2.$$ Раскрывая и упрощая: $$4cx = 4a^2 - 4a r_2 \;\Rightarrow\; r_2 = a - \frac{c}{a}x = a - \varepsilon x.$$ Подставляя обратно: $(x - c)^2 + y^2 = (a - \varepsilon x)^2 = a^2 - 2a\varepsilon x + \varepsilon^2 x^2$. $$x^2 - 2cx + c^2 + y^2 = a^2 - 2cx + \frac{c^2}{a^2}x^2,$$ $$x^2\left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right) + y^2 = a^2 - c^2 = b^2.$$ Делим на $b^2$ и используем $1 - c^2/a^2 = b^2/a^2$: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$
80 Теорема о директориальном свойстве эллипса
Теорема (директориальное свойство эллипса)
Эллипс — геометрическое место точек $M$ плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса $F$ к расстоянию до соответствующей директрисы $d$ постоянно и равно эксцентриситету: $$\frac{r_1}{d_1} \;=\; \frac{r_2}{d_2} \;=\; \varepsilon \;=\; \frac{c}{a} < 1.$$
Проверка
Левая директриса $x = -a/\varepsilon$. Расстояние от $M(x, y)$ до неё: $$d_1 = x + \frac{a}{\varepsilon} = \frac{\varepsilon x + a}{\varepsilon}.$$ Фокальный радиус: $r_1 = a + \varepsilon x$. Тогда $$\frac{r_1}{d_1} = \frac{a + \varepsilon x}{(a + \varepsilon x)/\varepsilon} = \varepsilon. \;\checkmark$$
81 Гипербола. Фокусы, фокусное расстояние, фокальные радиусы, эксцентриситет, директрисы. Асимптоты
Определение
Гиперболой называется геометрическое место точек $M$ плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух фиксированных точек $F_1, F_2$ плоскости есть постоянное число, меньшее, чем расстояние между $F_1$ и $F_2$.

$|r_1 - r_2| = 2a$, $a < c$.
В канонической СК $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$, $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.
  • $a$ — действительная полуось, $b$ — мнимая полуось;
  • Эксцентриситет: $\varepsilon = c/a > 1$;
  • Директрисы: $x = \pm a/\varepsilon = \pm a^2/c$;
  • Фокальные радиусы: $r_1 = |a + \varepsilon x|$, $r_2 = |a - \varepsilon x|$;
  • Асимптоты: $y = \pm\dfrac{b}{a}x$.
Простой пример
Гипербола $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$: $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$, $\varepsilon = 5/3$.
Асимптоты: $y = \pm\dfrac{4}{3}x$. Фокусы $F_1(-5, 0)$, $F_2(5, 0)$.
82 Каноническое уравнение гиперболы (с выводом)
Теорема
Уравнение гиперболы в канонической системе координат: $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a, b > 0, \quad b^2 = c^2 - a^2.$$
Вывод
Пусть $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$. Берём $r_1 - r_2 = \pm 2a$. Аналогично выводу для эллипса возводим в квадрат дважды: $$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = \pm 2a.$$ После упрощений получаем $r_2 = |a - \varepsilon x|$, далее $$x^2\left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right) + y^2 = a^2 - c^2,$$ и так как $c > a$, имеем $a^2 - c^2 < 0$, и удобно положить $b^2 = c^2 - a^2$. Делим на $-b^2$: $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.$$
83 Теорема о директориальном свойстве гиперболы
Теорема
Гипербола — геометрическое место точек $M$ плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету: $$\frac{r}{d} \;=\; \varepsilon \;=\; \frac{c}{a} > 1.$$
Объединяет эллипс, гиперболу и параболу: фокально-директориальное свойство $r/d = \varepsilon$ работает для всех трёх. $\varepsilon < 1$ — эллипс; $\varepsilon = 1$ — парабола; $\varepsilon > 1$ — гипербола.
84 Парабола. Фокус, директриса, фокальный параметр, эксцентриситет
Определение
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние от некоторой фиксированной точки $F$ плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой $d$, не проходящей через $F$.

Точка $F$ — фокус параболы, прямая $d$ — её директриса. Расстояние от фокуса до директрисы — фокальный параметр $p$. Эксцентриситет параболы по определению считается равным $1$.
В канонической системе координат: $F(p/2, 0)$, директриса $x = -p/2$, $p > 0$.
Фокальный радиус точки $M(x, y)$ параболы: $r = x + p/2$.
Простой пример
$y^2 = 4x$: $p = 2$. Фокус $F(1, 0)$, директриса $x = -1$.
Точка $(1, 2)$ лежит на параболе: $4 = 4$. ✓ Расстояние до фокуса: $r = 1 + 1 = 2$. Расстояние до директрисы: $1 - (-1) = 2$. Равны. ✓
85 Каноническое уравнение параболы (с выводом)
Теорема
Уравнение параболы в канонической системе координат имеет вид $$y^2 = 2px, \quad p > 0.$$
Вывод
Каноническая СК: ось $Ox$ — прямая, проходящая через $F$ перпендикулярно директрисе, ориентированная от директрисы к $F$; $O$ — середина отрезка от точки пересечения $Ox$ с директрисой до $F$. Тогда $F(p/2, 0)$, директриса $x = -p/2$.

Пусть $M(x, y)$ — точка параболы. По определению: $$\sqrt{(x - p/2)^2 + y^2} = x + p/2.$$ Возводим в квадрат: $$x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4},$$ откуда $y^2 = 2px$.
86 Оптические свойства кривых второго порядка
Эллипс. Луч, выходящий из одного фокуса, после отражения от эллипса проходит через другой фокус.

Гипербола. Луч, выходящий из одного фокуса, после отражения от гиперболы продолжается так, как будто исходит из другого фокуса (то есть отражённый луч направлен от другого фокуса).

Парабола. Лучи, выходящие из фокуса параболы, после отражения от неё образуют пучок лучей, параллельных оси параболы. (И обратно: параллельные оси лучи фокусируются в фокусе.)
Прикладной смысл: эллипсоидальные «шептательные галереи» и литотрипторы (дробят камни в почках), параболические антенны, прожекторы и телескопы используют эти свойства.
87 Общее уравнение алгебраической линии второго порядка на плоскости, его инварианты. Преобразование уравнения
Общее уравнение
$$F(x, y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0.$$ Матрицы коэффициентов: $$A_3 = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}, \qquad A_2 = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}.$$
Инварианты
При ортогональных преобразованиях системы координат на плоскости (поворотах и переносах) не меняются следующие величины: $$I_1 = a_{11} + a_{22} = \operatorname{tr} A_2,$$ $$I_2 = \det A_2 = a_{11}a_{22} - a_{12}^2,$$ $$K_3 = \det A_3.$$ Они и называются инвариантами уравнения второго порядка.
Преобразование уравнения
Цель: подобрать поворот и сдвиг СК так, чтобы привести уравнение к каноническому виду (без перекрёстного члена $xy$ и, по возможности, без линейных членов). Поворот убирает $xy$ (приводит квадратичную часть к главным осям), сдвиг убирает линейные члены, если возможно (для центральных кривых).
88 Классификация кривых второго порядка на плоскости
Классификация по инвариантам $I_2$ и $K_3$ (без мнимых)
  1. $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, $a \ge b > 0$ — эллипс $\;(I_2 > 0,\; I_1 K_3 < 0)$.
  2. $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 0$ — одна точка $\;(I_2 > 0,\; K_3 = 0)$.
  3. $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ — гипербола $\;(I_2 < 0,\; K_3 \ne 0)$.
  4. $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0$ — пара пересекающихся прямых $\;(I_2 < 0,\; K_3 = 0)$.
  5. $y^2 = 2px$, $p > 0$ — парабола $\;(I_2 = 0,\; K_3 \ne 0)$.
  6. $y^2 = a^2$, $a \ne 0$ — пара параллельных прямых $\;(I_2 = K_3 = 0,\; K_2 < 0)$.
  7. $y^2 = 0$ — одна прямая $\;(I_2 = K_3 = K_2 = 0)$.
89 Определение поверхности второго порядка. Центральные и нецентральные поверхности
Определение
Поверхностью второго порядка (ПВП) называется геометрическое место точек пространства, координаты которых $(x, y, z)$ удовлетворяют уравнению $$\begin{aligned}&a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + a_{33}z^2 + 2a_{12}xy + 2a_{23}yz + 2a_{13}xz\\ &+\, 2a_{14}x + 2a_{24}y + 2a_{34}z + a_{44} = 0,\end{aligned}$$ где не все коэффициенты при квадратичных членах равны нулю.
Центральная ПВП — поверхность, имеющая центр симметрии: вместе с любой точкой $(x, y, z)$ принадлежащей поверхности, ей принадлежит и точка, симметричная относительно некоторого фиксированного центра.

В канонической СК с центром в начале координат уравнение центральной ПВП имеет вид $$a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + a_{33}z^2 + a_{44} = 0$$ (нет линейных и перекрёстных членов).

Нецентральные ПВП — поверхности, не имеющие единственного центра симметрии (параболоиды, цилиндры с параболической направляющей).
90 Классификация поверхностей второго порядка
Центральные ПВП
  1. Эллипсоид: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$.
  2. Однополостный гиперболоид: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$.
  3. Двуполостный гиперболоид: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = -1$.
  4. Конус 2-го порядка: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 0$.
Нецентральные ПВП
  1. Эллиптический параболоид: $z = \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}$.
  2. Гиперболический параболоид («седло»): $z = \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2}$.
  3. Эллиптический цилиндр: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$.
  4. Гиперболический цилиндр: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$.
  5. Параболический цилиндр: $y^2 = 2px$.
  6. Пара пересекающихся плоскостей, пара параллельных плоскостей, одна плоскость, точка (вырожденные случаи).
91 Теорема о прямолинейных образующих поверхностей второго порядка
Теорема
Через любую точку однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида проходят две различные прямые, целиком лежащие на этой поверхности. Эти прямые называются прямолинейными образующими.
Для однополостного гиперболоида
Уравнение $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ перепишем в виде $$\left(\frac{x}{a} - \frac{z}{c}\right)\left(\frac{x}{a} + \frac{z}{c}\right) = \left(1 - \frac{y}{b}\right)\left(1 + \frac{y}{b}\right).$$ Тогда два семейства образующих задаются (при параметре $t \ne 0$): $$\text{I:}\;\begin{cases}\dfrac{x}{a} + \dfrac{z}{c} = t\left(1 + \dfrac{y}{b}\right)\\ \dfrac{x}{a} - \dfrac{z}{c} = \dfrac{1}{t}\left(1 - \dfrac{y}{b}\right)\end{cases} \qquad \text{II:}\;\begin{cases}\dfrac{x}{a} + \dfrac{z}{c} = t\left(1 - \dfrac{y}{b}\right)\\ \dfrac{x}{a} - \dfrac{z}{c} = \dfrac{1}{t}\left(1 + \dfrac{y}{b}\right)\end{cases}$$
Это знаменитое свойство активно используется в архитектуре: гиперболоидные башни (Шуховская башня в Москве, башни Гауди) и градирни электростанций строятся из прямых стальных балок, хотя сама поверхность — кривая.
92 Приведение уравнения поверхности второго порядка к осям симметрии методом ортогональных преобразований (с примером)
Алгоритм
1. Выделить квадратичную форму $Q(x, y, z)$ из общего уравнения ПВП: $$Q(x, y, z) = a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + a_{33}z^2 + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + 2a_{23}yz.$$
2. Составить симметрическую матрицу $A$ квадратичной формы.
3. Найти собственные значения $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ из $\det(A - \lambda E) = 0$.
4. Найти ортонормированный базис из собственных векторов (он существует по спектральной теореме). Эти векторы — столбцы ортогональной матрицы $Q$.
5. Сделать ортогональную замену $(x, y, z)^T = Q (x', y', z')^T$. В новых координатах квадратичная часть примет диагональный вид: $$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \lambda_3 z'^2 + \text{(линейные члены)} + \text{const} = 0.$$
6. Сдвигом начала координат (выделением полных квадратов) убрать линейные члены — получим каноническое уравнение. По его виду определяется тип поверхности.
Простой пример
Уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy = 1$.

Матрица квадратичной формы: $A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$.

Собственные значения из $\det(A - \lambda E) = (1 - \lambda)\bigl((1-\lambda)^2 - 1\bigr) = (1-\lambda)\lambda(\lambda - 2) = 0$: $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 1$.

После ортогональной замены координат уравнение принимает вид $$0\cdot x'^2 + 2 y'^2 + 1\cdot z'^2 = 1, \quad \text{т.е.} \quad \frac{y'^2}{1/2} + \frac{z'^2}{1} = 1.$$ Это эллиптический цилиндр (нет переменной $x'$, в плоскости $(y', z')$ — эллипс).